Наприклад

Нехай у нас заданий базис e1, e2, e3 і потрібно перейти до нового базизу f1, f2, f3, заданого координатами в базисі e:

f1 = (5, 3, 2)T

f2 = (3, 1, 1)T

f3 = (2, -1, 0)T

По-перше, потрібно перевірити, чи будуть лінійно незалежними базисні вектори нового базису; інакше вони не утворюватимуть базис. По-друге, що по суті означає запис "вектор f1 (f2, f3) має координати (5, 3, 2) в базисі e"? Це означає, що

f1 = 5e1 + 3e2 + 2e3

f2 = 3e1 + 1e2 + 1e3

f3 = 2e1 - e2

Нам потрібно знайти координати базових векторів старого базису (тобто, базису e) в новому. Інакше кажучи, потрібно просто виразити вектори ei через вектори fi; а це означає, по суті, розв’язати попередні три рівності як систему рівнянь відносно e1, e2, e3:

e1 = 1f1 - 2f2 + 1f3

e2 = 2f1 - 4f2 + 1f3

e3 = -5f1 + 11f2 - 4f3

Отримані рівності легко переписуються у вигляді координат векторів e1, e2, e3 в базисі f:

e1 = (1, -2, 1)T

e2 = (2, -4, 1)T

e3 = (-5, 11, -4)T

Відповідно, матриця перетворення (координати старих базисних векторів у новому базисі, записані по стовпчиках):

( 1, 2, -5 )

B = ( -2, -4, 11 )

( 1, 1, -4 )

Тепер, наприклад, щоб перевести координати вектора Ve = (1, 1, 1)T із базиса e в базис f, достатньо помножити його справа на матрицю B:

Vf = B Ve = (-2, 5, -2)

[Ред.]Деталі

Спробуймо перевести координати одного з базисних векторів у новий базис. Очевидно, що базисні вектори виражаються у власному ж базисі тривіальними координатами: e1 = (1, 0, 0)T, e2 = (0, 1, 0)T, e3 = (0, 0, 1)T. Далі, згідно правилу, помножимо їх на матрицю переходу:

B e1 = (1, -2, 1)T

B e2 = (2, -4, 1)T

B e3 = (-5, 11, -4)T

Легко помітити, що отримані координати співпадають із знайденими вище координатами векторів e1, e2, e3 в базисі f. Отже, дійсно, матриця робить саме те, що треба :) Ще далі, використовуючи властивість, що будь-який вектор лінійного простору виражається (єдиним способом) лінійною комбінацією базисних векторів цього простору та лінійність множення вектора на матрицю, можна довести, що знайдена матриця переводить усі вектори лінійного простору в новий базис.

30. Рядковий та стовпчиковий ранг матриці, ранг мариці.

Означення: Рангом матриці по стовпчикам називається кількість стовпчиків максимальної лінійно незалежної системи стовпчиків (тобто такої лінійно незалежної системи стовпчиків, що інші стовпчики є лінійною комбінацією стовпчиків нашої системи). Аналогічно вводиться поняття рангу матриці по рядках.

Найбільший порядок не рівного 0 мінору матриці А називається мінорним рангом.

Теорема 1

Ранг матриці по стовпчиках дорівнює мінорному рангу.

Нехай D≠0 мінор порядку r такий, що всі мінори більших порядків дорівнюють нулю. Можна вважати, що він розташований у перших r рядках та r стовпчиках.

Тоді перші r стовпчиків є лінійно незалежними, бо якщо б вони були залежні, то D=0. Залишилось довести, що інші стовпчики належать лінійній оболонці перших r стовпчиків.

Наслідок 1

Мінорний ранг по стовпчиках дорівнює рангу по рядках.

Розглянемо А^т. Всі мінори при цьому не міняються, отже, не змінюється мінорний ранг. За теоремою 1 мінорний ранг дорівнює рангу матриці А^т по стовпчиках.

Наслідок 2

Якщо мінор r+1 порядку не дорівнює нулю, а всі оточуючі мінори r+1 порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює r.

Наслідок 3

Нехай А – квадратна матриця. Тоді det A=0 тоді і тільки тоді, коли її рядки або стовпчики лінійно залежні.