28. Лінійний оператор, властивості лінійних операторів, представлення лінійного оператора в n-мірному просторі.

Нехай L1 і L2 – два лінійні простори.

Будь-яке відображення (функція) Т1:L1L2 називаеться лінійним оператором.

Оператор Т1:L1L2 називаеться лінійним, якщо виконуються наступні дві умови:

1. Т(а1+а2)=Та1+Та2  а1,а2 є L

2. Т(а)=Та  а є L,   є R

Матриця лінійного оператора

Нехай е1..еn – фіксований базис у L1,а f1..fm –базис у L2.

Нехай Т1:L1L2 лінійний оператор.

Теj=a1jf1+a2jf2+…+amjfm, f=1..m, aijєR,

Тоді матриця має вигляд Ат=

Матриця оператора Т залежить від вибраних базисів.

За матрицею оператора можна однозначно відновити дію оператора:

Якщо х=, то Тх=, fi

Нехай :L1L2 лінійний оператор

Т:L2L3 лінійний оператор

Композиціею операторів Т1S називаеться оператор, я кий діє з L1L3 за формулою:

(T*S)x=T(Sx)

Нехай А(aij)i=1 j=1

B(bij)i=1 j=1

Добутком цих матриць називається матриця С(сij)i=1 j=1 така , що її елементи рахуються за формулою Сij= i=1..S j=1..n

29. Матриця переходу від одного базису до іншого, запис матриці оператора в новому базисі.

Пусть V - линейное пространство, A - линейный оператор из L(V,V), и - два базиса в V и

- формулы перехода от базиса {e_i}к базису . Обозначим через матрицу U матрицу :

5.17

Отметим, что rang U = n. Пусть 5.18

-матрицы оператора A в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами.

Теорема 5.7. Матрицы и оператора в базисах соответственно связаны соотношением

A=U^-1AU,

(где U^-1 обратная матрица) для матрицы U, определенной равенством 5.17

Доказательство. Обращаясь к понятию матрицы линейного оператора, получим, согласно 5.18

, 5.19

Из определения линейного оператора, из формул 516 и из второй из формул 5.19

следуют соотношения

,

Поэтому справедливо равенство

Подставляя в левую часть этого равенства выражение Ae_i по первой из формул 5.19 найдем

Так как {e_j} – базис, то из последнего соотношения вытекают равенства

, j,k=1,2,..,n

Если обратится к матрицам A, , U (5.17, 5.18), то соотношения 5.20 эквивалентны следующему матричному равенству: UA= .

Умножая обе части этого равенства на матрицу U^-1,получим требуемое соотношение

Теорема доказана.

Замечание:

Перехід від одного базису до іншого

Якщо точніше, то потрібно скласти матрицю перетворення. Власне, складатись вона буде з координат базисних векторів старого базису в новому базисі, записаних по стовпчикам. Після цього достатньо стовпчик координат вектора у старому базисі помножити справа на матрицю перетворення, щоб отримати той же вектор вже у новому базисі.