27. Поняття лінійної залежності та незалежності векторів, базис.

Нехай ;

Тоді елемент називається лінійною комбінацією елементів .

Означення

Підмножина , яка є лінійним простором відносно операцій в називається лінійним підпростором простору .

Приклад

лінійний підпростір в .

Означення

Множина всіх лінійних комбінацій елементів називається лінійною оболонкою цих елементів

Означення

Елементи називаються ЛІНІЙНО НЕЗАЛЕЖНИМИ , якщо з рівності випливає, що

Означення

Елементи є ЛІНІЙНО ЗАЛЕЖНИМИ, якщо існують числа , серед яких не всі дорівнюють 0, і такі, що відповідна лінійна комбінація буде

Лема (%)

1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один із цих векторів є лінійною комбінацією інших

1) Необхідність

Нехай лінійно залежна. Отже, , не всі рівні 0, такі що . Нехай тоді , є л.о.

2) Достатність

Нехай є л.о. , .

Тоді . Але , отже,

- лінійно залежні.

2. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один із цих векторів є лінійною комбінацією попередніх

1) Необхідність

Нехай - лінійно залежні. Тоді , причому не всі .

Серед чисел виберемо останнє число . Тоді , звідси випливає що

Тобто є лінійною комбінацією попередніх.

Теорема (*)

Нехай - лінійно незалежна система елементів лінійного простору , і кожен з цих елементів належить до лінійної оболонки , де . Тоді .

Означення

Система елементів називається повною, якщо л.о. , тобто кожен елемент простору є лінійною комбінацією елементів

Означення

Повна лінійно незалежна система векторів називається БАЗИСОМ простору. Якщо базис скінченний, то простір називається скінченновимірний, а кількість елементів його базису називають розмірністю простору .

Наслідок

Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів

Нехай та - базиси простору .

З одного боку належать до л.о. , і за теоремою (*) маємо .

З іншого боку належать до л.о. , і за т.(*)

Наслідок (**)

Будь-яка система з елементів вимірного лінійного простору є лінійно залежною.

Якщо - базис простору , і - лінійно незалежна система елементів, то належать до л.о. , і за т.(*) , що неможливо

Висновок

Кожні лінійно незалежних векторів вимірного лінійного простору утворюють базис.

Нехай - лінійно незалежна система векторів.

Доведемо, що - повна система векторів, тобто будь-який

Але з наслідку (**) випливає, що система - лінійно залежна

З леми (%) випливає, що один з цих елементів лінійно виражається через попередні, це не може бути елемент а це суперечить лінійній незалежності . Отже

Теорема (***)

Нехай є базисом лінійного простору . Тоді , такі, що Числа називаються координатами елемента в базисі .

Достатньо довести лише єдиність, бо існування випливає з повноти системи .

Нехай та .

Тоді .

Оскільки - лінійно незалежні, звідси випливає, що або , і, отже, (***) – єдиний

Зауваження

Завдяки т.(***) кожному елементу можна співставити вектор

Базис лінійного простору, розмірність, розклад елементів лінійного простору по базису.

////Необхідні теореми:

Лема 7.1

1. Система векторів а₁, а₂,…,а_s є L лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли один з цих векторів є лінійною комбінацією інших.

2. Система векторів a₁,a₂,…,a_n є L лінійно залежна ↔ коли один з цих елементів є лінійною комбінацією попередніх елементів.

Теорема 7.2

Нехай a₁,a₂,…,a_r - лін. незал. система ел-тів лін. простору L, і кожен з цих ел-тів належить до лінійної оболонки (л.о.) {b₁,..,b_s} , де b₁,..,b_s є L. Тоді

r<=s\\\\\

Означення

Повна лінійно незалежна система векторів називається базисом лінійного простору.

Якщо базис скінченний, то простір L наз. cкіченновимірним, а к-сть ел-тів його базису наз. Розмірністю простору L.

Наслідок 7.3 з теор. 7.2

Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів.

∆ Нехай e₁, e₂,…,e_n - базис L і f₁,f₂,…,f_m – інший базис L.

Оскільки e_i є л.о. {f₁,f₂,…,f_m}, i=1,…,n, то за теоремою 7.2 маємо n<=m. З іншого боку f_j є л.о.{e₁,…,e_n}→за теор. 7.2 маємо m<=n. Отже, m=n. ∆

Наслідок 7.4

Будь-яка система з n+1 ел-ту n-вимірного лін. простору є лінійно незалежною.

∆ Якщо e₁, e₂,…,e_n - базис і a₁,a₂,…,a_n+1 лін. незал., то a_i є л.о. {e₁,…,e_n} і за теоремою 7.2 отримаємо n+1<=n – протиріччя ∆

Наслідок 7.5

Кожна лінійно незалежна система з n векторів n-вимірного простору є базисом.

∆ Нехай a₁,a₂,…,a_n – лін. незал. ел-ти. Доведемо, що a₁,a₂,…,a_n - повна система ел-тів, тобто будь-який вектор x є L

x є α₁*a₁+ α₂*a₂+…+ α_n*a_n.

Але з наслідку 7.4 випливає, що система a₁,a₂,…,a_n,x – лін. залежна.

З леми 7.1 випливає, що один з цих ел-тів лінійно виражається через попередні. Це не може бути елемент a_і , де i=1,…,n,бо це суперечить лінійній незалежності a₁,a₂,…,a_n .

Отже, x =α₁*a₁+ α₂*a₂+…+ α_n*a_n. ∆

Теорема 8.1

Нехай e₁, e₂,…,e_n - базис лін. простору L. Тоді V x є L Э! x₁, x₂,…,x_n є R такі, що x=x₁*e₁+x₂*e₂+…+x_n*e_n (8.1).

Числа х₁, х₂,…,х_n називаються координатами ел-та х в базисі e₁, e₂,…,e_n .

∆ Існування розкладу 8.1 випливає з повноти системи e₁, e₂,…,e_n , отже треба довести лише єдиність розкладу (8.1).

Нехай

x=x₁*e₁+x₂*e₂+…+x_n*e_n

x=x¹₁*e₁+x¹₂*e₂+…+x¹_n*e_n

0=x-x=(x₁-x¹₁)*e₁+(x₂-x¹₂)*e₂+…+(x_n-x¹_n)*e_n.

Оскільки e₁,…,e_n лінійно незалежні, звідси випливає, що

x₁-x¹₁=x₂-x¹₂=…=x_n-x¹_n=0 або x₁=x¹₁, x₂=x¹₂, …, x_n=x¹_n, і, отже, розклад (8.1) єдиний. ∆

Зауваження

Завдяки теоремі 8.1 кожному ел-ту x є L можна співставити вектор