
- •Множини, операції над множинами, приклади.
- •Формула бінома ( метод матиматичної індукції ).
- •Границя послідовності означення, приклади, єдиність.
- •Основні властивості границі послідовності ( суми, різниці, добутку, частки ).
- •Теореми про обмеженість збіжної послідовності, про перехід до границі в нерівності.
- •Теорема про три послідовності.
- •Теорема про існування границі монотонної обмеженої послідовності.
- •Число е як границя послідовності.
- •Верхня та нижня границя послідовності означення теорема про їх характеризацію.
- •Фундаментальність послідовності, довести фундаментальність збіжної послідовності, критерій Коші.
- •Означення границі функції в точці по Коші та по Гейне.
- •Односторонні границі функції, елементарні властивості цих границь.
- •Нескінчено малі та великі величини їх зв’язок, порівняння нескінчено малих та великих величин.
- •Границя функції коли X0.
- •Неперервність функції в точці, неперевність суми, різниці, добутку та частки двох функцій.
- •Перша теорема Вейерщтрасса.
- •Друга теорема Вейерштрасса.
- •Рівномірна неперервність на замкнутому інтервалі, теорема Кантора.
- •Розриви функції, приклади.
- •Матриці, операції над матрицями.
- •Умножение матрицы на число
- •Сложение матриц
- •Умножение матриц
- •Визначник означення та обчислення, властивості визначника.
- •Знаходження оберненої матриці через алгебраїчні доповнення та з допомогою елементарних перетворень.
- •Метод Гауса розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •Описание метода
- •2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. ]Условие совместности
- •Достоинства метода
- •Матричний метод розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.
- •Евклідовий n-мірний простір, операції над векторами, скалярний добуток.
- •Поняття лінійної залежності та незалежності векторів, базис.
- •1) Необхідність
- •2) Достатність
- •1) Необхідність
- •Лінійний оператор, властивості лінійних операторів, представлення лінійного оператора в n-мірному просторі.
- •Матриця переходу від одного базису до іншого, запис матриці оператора в новому базисі.
- •Перехід від одного базису до іншого
- •Наприклад
- •[Ред.]Деталі
- •Рядковий та стовпчиковий ранг матриці, ранг мариці.
- •Розв’язність системи лінійних однорідних рівнянь, представлення загального розв’язку .
- •1)Загальні поняття системи лінійних рівнянь.
- •2) Однорідні системи лінійних рівнянь.
- •3) Загальний розв’язок системи неоднорідних лінійних рівнянь.
- •4) Фундаментальні розв’язки однорідної системи лінійних рівнянь.
- •Теорема Кронекера-Капеллі, представлення загального розв’язку.
- •Следствия
- •Власні значення та власні вектори лінійного оператора їх знаходження.
- •Квадратичні та білінійні форми приведення їх до канонічного вигляду.
- •Скалярний та векторний добуток векторів їх застосування.
- •Векторний добуток
- •Змішаний добуток векторів та його застосування.
- •Загальне рівняння прямої на площині вивід зміст коефіцієнтів.
- •Нормальне рівняння прямої знаходження відстані від точки до прямої.
- •Загальне рівняння площини вивід його, зміст коефіцієнтів.
- •Рівняння площини що проходить через три точки, через точку та два вектора.
- •Рівняння площини в відрізках на осях, та нормальне рівняння площини.
- •Рівняння прямої у просторі як перетин площин, канонічне рівняння прямої.
- •Взаємне розміщення прямої та площини у просторі.
- •Криві другого порядку вивід рівняння еліпса, основні параметри еліпса.
- •Гіпербола вивід канонічного рівняння, основні параметри.
- •Парабола вивід канонічного рівняння, параметри.
- •Приведення до канонічного вигляду рівняння кривої другого порядку.
- •Поверхні другого порядку основні типи поверхонь.
- •Похідна функції в точці означення основні властивості.
- •Геометричний та механічний зміст похідної.
- •Рівняння дотичної та нормалі, піддотична та піднормаль.
- •Похідна складної функції, похідна функції заданої неявно.
- •Логарифмічне диференціювання, похідна функції заданої параметрично.
- •Диференціал, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •Похідні вищого порядку функцій заданих явно неявно та параметрично.
- •Формула Лейбніца.
- •Диференціал вищого порядку.
- •Теорема Ферма, Ролля та Лагранжа.
- •Теорема Коші.
- •Необхідна та достатня умова монотонності функції.
- •Формула Тейлора для многочлена, формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано.
- •Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа.
- •Перша теорема Лопіталя, наслідок з неї.
- •Друга теорема Лопіталя та наслідок знеї.
- •Дослідження функції на випуклість.
- •Локальний екстремум дослідження.
- •Точки перегину, дослідження на екстремум за допомогою старших похідних.
- •Асимптоти функції, знаходження асимптот.
- •Функції багатьох змінних, знаходження похідної по напрямку, градієнт.
- •Частинні похідні високого порядку, умови співпадіння змішаних похідних.
- •Необхідні умови локального екстремуму, геометричний зміст диференціалу.
- •Формула Тейлора для функції багатьох змінних.
- •Достатні умови екстремуму для функції двох змінних.
- •Умовний екстремум функція Лагранжа.
- •Знаходження максимального та мінімального значення в області.
- •Первісна функції означення основні властивості.
- •Формула інтегрування за частинами в невизначенному інтегралі.
- •Заміна змінних в невизначенному інтегралі
- •Комплексні числа, операції над комплексними числами, алгебраїчна та тригонометрична форма комплексного числа.
- •Геометричне представлення
- •Формули Ейлера, геометрична інтерпритація комплексного числа
- •Корінь n-го степеня з комплексного числа.
- •Теорема Безу, наслідок з неї.
- •Кратні корені, розклад полінома на незвідні над полем комплексних чисел.
- •Обчислення інтегралу
- •Інтегрування елементарних дробів 1, 2 та 3 типів.
- •Інтегрування елементарного дробу 4-го типу, рекурентна формула.
- •Загальна формула інтегрування дробово-раціональної функції.
- •Метод Остроградського інтегрування дробово-раціональної функції.
- •Обчислення інтегралу .
- •Інтегрування диференціального біному.
- •Очислення інтегралу .
- •Очислення інтегралу .
- •Очислення інтегралу .
- •Очислення інтегралу
Описание метода
Пусть исходная система выглядит следующим образом
Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.
Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):
При
этом будем считать, что базисный
минор (ненулевой минор максимального
порядка) основной матрицы находится в
верхнем левом углу, то есть в него входят
только коэффициенты при переменных
[3].
Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.
Если
хотя бы одно число
,
где i > r,
то рассматриваемая система несовместна.
Пусть
для
любых i > r.
Перенесём
свободные переменные за знаки равенств
и поделим каждое из уравнений системы
на свой коэффициент при самом левом
(
,
где
—
номер строки):
,
где
Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.
Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.
2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. ]Условие совместности
Упомянутое
выше условие
для
всех
может
быть сформулировано в качестве
необходимого и достаточного условия
совместности:
Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).
Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
Следствия:
Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения.
Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.
Достоинства метода
Менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы[4].
Матричний метод розв’язування системи лінійних рівнянь.
Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):
Тогда её можно переписать в матричной форме:
AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим
это матричное уравнение слева на A -
1 —
матрицу, обратную к матрице A:
Так как A − 1A = E, получаем X = A - 1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:
.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.