12. Метод искусственного базиса. М-задача и ее решение.

М-метод применяется к задачам, каноническая форма которых не содержит единичного базиса и свободные члены ограничения неотрицательные.

Поэтому необходимо составить М-задачу.

Правила перехода к М-задаче:

1. В ограничение типа <= вводится неотрицательная переменная с коэффициентом +1.

2. В ограничение типа >= вводится неотрицательная переменная с коэффициентом -1.

3. В ограничение, не содержащее базисные переменные, вводим неотрицательную искусственную базисную переменную (yi).

4. В целевую функцию дополнительные переменные вводим с нулевыми коэффициентами.

5. В целевую функцию искусственную базисную переменную при решении задачи на max целевой функции вводим с коэффициентом –М, а при решении на min - +М (где М – большое положительное число).

Алгоритм М-метода решения задачи на max целевой функции:

1. Составить М-задачу.

2. М-задача записывается в первую симпликсную таблицу.

3. Подсчитываем оценки по формулам оценок и записываем в последнюю строку.

4. Проверка решения на оптимальность: если все оценки по переменным неотрицательные, то переходим к п. 12, если нет – то к п. 5.

5. Выбираем разрешающий столбец по min отрицательной оценке.

6. Если в разрешающем столбце есть хотя бы 1 положительный элемент, то переходим к п. 7; если нет – то целевая функция М-задачи неограниченна и переходим к п. 14.

7. Вычисляем симпликсные отношения.

8. Выбираем разрешающую строку по наименьшему симпликсному отношению.

9. На пересечении разрешающего столбца и строки находим разрешающий элемент.

10. Пересчет таблицы по общему правилу преобразования.

11. Переход к п. 4.

12. Запись оптимального решения М-задачи и значения целевой функции М-задачи.

13. Если все искусственные переменные М-задачи = 0, то записываем соответствующее решение исходной задачи.

Если хотя бы 1 из искусственных переменных ≠ 0, то необходимо корректировка условия исходной задачи.

14. Если целевая функция М-задачи неограниченна, то необходимо в М-задачу ввести дополнительное ограничение:

x1 + x2 + … + xn <= M

- Если после решения новой М-задачи:

А) Она будет иметь оптимальное решение с нулевой искусственной переменной, то целевая функция исходной задачи неограничена.

Б) Если она будет иметь оптимальное решение с ненулевой искусственное переменной, то система ограничений основной задачи несовместна.

13. Теоремы м-метода. Определение решения основной задачи по решению м-задачи.

Правила соответствия допустимых решений основной и М-задачи:

- Допустимому решению основной задачи соответствует допустимое решение М-задачи, которое получается добавлением нулей к решению исходной задачи (т.е. искусственные переменные = 0).

- Допустимому решению М-задачи с искусственными переменными = 0соответствует допустимое решение исходной задачи, которое получается отбрасыванием = 0 искусственных переменных.

Теоремы М-метода:

1. Если М-задача имеет оптимальное решение, в котором искусственные переменные = 0, то исходная задача также имеет оптимальное решение, которое получается отбрасыванием = 0 искусственных переменных.

2. Если М-задача имеет оптимальное решение, в котором не все искусственные переменные = 0, то исходная задача не имеет допустимых решений.

3. Если М-задача не имеет оптимального решения из-за неограниченности целевой функции, то исходная задача также не имеет оптимального решения:

А) или из-за несовместности системы ограничений;

Б) или из-за неограниченности целевой функции.