9. Фундаментальная теорема линейного программирования для ограниченной области допустимых решений.

Если ОДР задачи линейного программирования непустая, выпуклая, ограниченная, то задача всегда имеет оптимальное решение, совпадающее хотя с 1 из вершин ОДР или с одним из опорных решений системы ограничений задачи.

Преобразования, позволяющие переходить от 1го опорного решения к другому, называется симпликсными преобразованиями однократного замещения.

10. Алгоритм симпликсного методы в полных таблицах.

Симпликсный метод универсальный – идея последовательного улучшения опорных решений (основа метода).

Задача должна быть приведена к канонической форме и должно быть получено исходное опорное решение.

1. Исходное опорное решение записывают в 1ю симпликсную таблицу.

2. Заполняем симпликсную таблицу.

3. Оценки рассчитывают по формуле:

Δj = Σ ci aij – cj, i - базису, j = 1, 2, … , m.

4. Проверка решения на оптимальность.

Решение задачи на max целевой функции оптимально, если все оценки по переменным неотрицательны.

- Если решение оптимально, то переходим к п. 14, если нет – к след. п. 5.

5. Выбирается разрешающий столбец по min отрицательной оценке.

6. Если в разрешающем столбце есть хотя бы 1 положительный коэффициент, то переходим к п. 7.

Если нет – то целевая функция неограниченна (линейно).

7. Вычисляются симпликсные отношения – это отношения неотрицательных свободных членов к строго положительным коэффициентам разрешающего столбца (записываются в последний столбец симпликсной таблицы).

8. По наименьшему симпликсному отношению выбирается разрешающая строка.

9. На пересечении столбца и строки находим разрешающий элемент.

10. Производим пересчет таблицы.

- По правилу Жардана-Гаусса:

А) Разрешающая строка делится на разрешающий элемент.

Б) В разрешающем столбце элемент становится = 1. Остальные элементы обнуляются.

В) Все оставшиеся элементы таблицы, включая контрольные суммы и строки оценок, подсчитываются по правилу прямоугольника.

11. В разрешающей строке в столбец базисных переменных записывается переменная разрешающего столбца.

А в столбец коэффициентов целевой функции при базисных переменных записывают коэффициенты целевой функции разрешающего столбца.

12. Контроль вычислений:

А) по столбцу контрольных сумм.

Б) по оценкам.

13. Переход к п.4.

14. Запись оптимального решения.

Все свободные переменные = 0. значения базисных переменных = соответствующим значениям столбца свободных членов.

11. Определение различных вариантов решения задачи в симплексном методе (неограниченность целевой функции, единственное, альтернативное и вырожденное решения, несовместность системы ограничений). Особенности решения задачи линейного программирования на min целевой функции.

1. Решение оптимально на max, если все оценки по переменным неотрицательные.

2. Признак единственного оптимального решения – если все оценки по свободным переменным ≠ 0.

3. Признак альтернативного оптимального решения – если хотя бы 1 оценка по свободным переменным = 0.

4. Признак неограниченности целевой функции – если в разрешающем столбце нет ни одного строго положительного коэффициента.

5. Признак вырожденного опорного решения – если хотя бы 1 базисная переменная = 0.

6. Признак несовместности системы ограничений – если в к.-то строке симпликсной таблицы свободный член > 0, а все коэффициенты по переменным этой строки <= 0.

7. При решении задач на min целевой функции:

Умножаем обе части целевой функции на -1, далее решаем как на max.

minZ = c1x1 + c2x2 + … + cnxn + c0

- minZ = - c1x1 – c2x2 - … - cnxn – c0

maxZ = - c1x1 – c2x2 - … - cnxn – c0