4. Классификация задач математического программирования.

Математическое программирование – раздел, который занимается изучением методов решения задач управления, планирования на нахождение min/ max значений функции (экстремумов).

По характеру взаимосвязей между переменными и математическим аппаратом, который будет использоваться, задачи подразделяются на:

1. Линейные – все функциональные свойства системы ограничений и целевые функции носят линейный характер.

2. Нелинейные – если имеется нелинейность хотя бы в 1 связи, то это задачи нелинейного программирования.

Задачи линейного программирования:

1. Общая задача линейного программирования, которая решается симпликсным методом.

2. Транспортная задача, которая решается различными методами.

3. Видоизмененные задачи, которые определенным способами сводятся к решению симпликсным методом:

1) Задача параметрического программирования – такая задача, в которой или в целевой функции, или в правой части ограничений, или и там, и там, имеется параметр, который изменяется в определенных переделах.

2. Целочисленное программирование – на переменных накладывается условие целочисленности.

3. Дробно-линейное программирование – целевая функция представлена дробно-линейным выражением.

Задачи нелинейного программировая:

1. Общая задача нелинейного программирования.

2. Задача выпуклого программирования – задачи min-ции выпуклой вниз гладкой функции/ max-ции выпуклой вверх гладкой функции при ограничениях, заданных нелинейными/ линейными неравенствами, определяющими выпуклое множество.

1) Общая задача выпуклого программирования – целевая функция выпуклая и система ограничений также состоит из выпуклой функции.

2) Специальная задача – выпуклая целевая функция и линейная система ограничений.

3) Задача квадратического программирования – квадратическая целевая функция и линейная система ограничений.

3. Динамическое программирование – задачи, у которых целевая функция обладает свойством аддитивности (т.е. когда она представлена в виде суммы слагаемых функции, зависящих от ограниченного числа переменных/ зависящих только от одной переменной).

Z = f1(x1) + f2(x2) + … + fn(xn)

Специальные задачи исследования операций:

1. Теория игр.

2. Методы сетевого планирования и управления.

3. Система массового обслуживания.

4. Методы управления запасами и др.

5. Переход от исходной задачи линейного программирования к канонической. Экономический смысл дополнительных переменных.

Каноническая форма - характеризуется тем, что содержит целевую функцию, все ограничения равенства и все переменные неотрицательные.

Правила перехода от исходной формы к канонической:

1. Проверить, все ли переменные неотрицательны:

А) Если в исходной форме есть произвольные переменные xj, то их необходимо заменить разностью 2х неотрицательных переменных во всех ограничениях и целевой функции.

Б) Если в исходной форме все переменные неотрицательные, то начать запись канонической формы с п. 2.

2. Ограничение равенства с неотрицательными переменными оставить без изменения.

3.

А) В левую часть каждого ограничения типа <= вводится 1 новая неотрицательная дополнительная переменная с коэффициентом +1.

Б) В ограничение типа >= вводится 1 новая неотрицательная дополнительная переменная с коэффициентом -1.

Ограничение неравенства заменяется на =.

4. В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с нулевым коэффициентом.

Экономический смысл:

Дополнительные переменные с коэффициентом +1 – недоиспользованные ресурсы.

Дополнительные переменные с коэффициентом -1 – излишне использованные ресурсы.