28. Задача целочисленного программирования и ее решения.

Задача целочисленного программирования – задача на нахождение экстремума, при это на искомые переменные накладывается условие целочисленности.

Математическая запись задачи целочисленного программирования:

Задача целочисленного программирования решается симпликсным методом без учета условия целочисленности до получения оптимального решения.

Если полученное оптимальное решение имеет целое значение переменных, то оптимальное решение задачи найдено.

Если хотя бы 1 переменная имеет дробное значение, то задача решается по алгоритму Гомори.

29. Алгоритм метода Гомори для решения задач целочисленного программирования.

1. Задача целочисленного программирования решается симпликсным методом без учета условия целочисленности до получения оптимального решения.

2. Если полученное оптимальное решение имеет целое значение переменных, то оптимальное решение задачи найдено.

Если хотя бы 1 переменная имеет дробное значение, то переходим к п. 3.

3. В задачу вводится дополнительное ограничение:

А) Среди значений переменных выбирается переменная, имеющая наибольшую дробную часть.

Т.о., определяется строка симпликсной таблицы, в которой находится свободный член с наибольшей дробной частью.

Б) Из каждого коэффициента этой строки вычитается max целое число, которое приближено к этому коэффициенту, но не превышает его.

(Если целый коэффициент, то вычитают его же).

Полученные числа являются коэффициентами нового ограничения при соответствии переменных и свободных членов.

В) Тип нового ограничения >=.

Г) Приводим ограничение к каноническому виду, умножив левую и правую части на -1 для того, чтобы ввести дополнительное ограничение.

Д) Дополнительные переменные, вошедшие в ограничение, входят в базис симпликсной таблицы, а также в таблицу заносятся коэффициенты преобразования ограничения.

4. Новая строка таблицы принимается за разрешающую строку.

5. Для этой строки подсчитываются двойственные симпликсные отношения (ДСО) – отношения неотрицательных оценок к строго отрицательным коэффициентам разрешающей строки.

Если в разрешающей строке нет ни одного строго отрицательного коэффициента при переменных, то система ограничений несовместна в области целочисленных решений.

6. По наибольшей ДСО выбирают разрешающий столбец.

7. На пересечении разрешающей строки и столбца определяется разрешающий элемент и выполняется пересчет таблиц однократного замещения (аналогично симпликсному методу).

И т.д. с п. 2, пока не будет получено оптимальное решение или нет решения.

30. Понятие о методе ветвей и границ для решения задачи целочисленного программирования.

31. Постановка задачи параметрического программирования.

Целевая функция:

Z = Σ cjxj + c0 → max (min)

При ограничениях:

Σ aij ≤ (≥, =) ai0, i = 1, 2, ... , m, xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , n

Пусть:

cj = c’j + tc”j

cj – может изменяться в некоторых пределах

c’j, c”j – постоянные значения

t – параметр, изменяющийся в некоторых пределах α ≤ t ≤ β

Задача параметрического программирования с параметром целевой функции:

Z = Σ (c’j + tc”j)xj + c0 → max (min), α ≤ t ≤ β

При ограничениях:

Σ ajxj ≤ (≥, =) ai0, i = 1, 2, ... , m, xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , n

Для каждого значения t в интервале [α;β], где α и β – произвольные действительные числа, найти неотрицательный вектор X (x1, x2, ... , xn) , удовлетворяющий системе ограничений и обеспечивающий оптимальное значение целевой функции.