1. Применение методов оптимизации в экономике. Постановка общей задачи линейного программирования. Математическая запись задачи.

Метод (от греч. – путь исследования) – способ или совокупность приемов, операций, достижение к.-либо цели, решение конкрет. задачи.

Оптим. решение – наилучшее решение из всех допустимых решений с т.зр. выбранного критерия.

Процесс выбора наилучшего решения называется оптимизация.

Предмет дисциплины – совокупность приемов или сп. Нахождения оптимального решения.

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение цели.

Методы являются инструментом в решении математической модели.

Модель – в широк.смысле, образ к.-либо процесса, явления или системы, используемый в качестве заменителя.

Математическая модель – система математических соотношений в абстрактной форме описывающих наиболее существенные свойства и взаимосвязи изучаемого процесса или системы.

Опр-е по В.С. Немчинову:

Экономико-математическая модель – концентрированное выражение наиболее существенных связей и закономерностей экономической системы математической модели.

Этапы построения экономико-математической модели:

1. Изучение проблемы, важнейших черт и свойств моделируемого процесса и постановка задач.

2. Построение математической модели – формализация экономической проблемы в виде конкретных математических зависимостей.

3. Подготовка исходной информации (числовой).

4. Выбор метода и численное решение.

5. Анализ результатов и их применение.

Задача линейного программирования:

Имеются исходные данные – показатели по различным культурам, предприятиям и т.д.

Переменная: Xj, j = 1, 2, … , n.

Также условием задан критерий оптимальности - показатель, количественно отражающий цель решения.

Необходимо составить:

1. Систему ограничений – условия, которые накладываются на переменную или группу переменных, отражающие логику и взаимосвязь моделей.

Система ограничений должна быть совместна и неопределенна, в т.ч. условие неотрицательности переменных.

2. Целевую функцию (функционал) – математическое выражение, для которого требуется найти экстремум.

Задача линейного программирования основывается на задачах поиска экстремума функций при наличие ограничений типа неравенств.

2. История развития методов оптимизации в экономике.

Задача линейного программирования основывается на задачах поиска экстремума функций при наличие ограничений типа неравенств. В 1820 Фурье и затем в 1947 Данциг предложили использовать Симплексный метод для решения задач линейного программирования. Который по сейм день является основным.  Присутствие в названии дисциплины термина «Программирование» связанно с тем. Что исследование линейных задач было в сфере экономики, на английском языке слово programming означает планирование, составление программ или планов. Термин Линейное программирование был предложен Данцигом в 1949 году для изучения теоретических и алгоритмических задач, связанных с оптимизацией линейных функций при линейных ограничениях. Поэтому наименование Математическое программирование связанно с выбором оптимальной программы действий. Одними из первых, исследовавших в общей форме задачи линейного программирования были Джон Фон Нейман и советский академик Канторович, который сформулировал ряд задач линейного программирования, и предложивший в 1939 году метод их решения (метод разрешающих множителей). В 1931 году Эгервари рассмотрел задачу линейного программирования имеющую название «проблема выбора» метод получил название «Венгерский метод». В 1949 Канторович и Гавурин разработали метод потенциалов, который применяется для решения транспортных задач.

3. Основные понятия и обозначения в линейном программировании.

1. Критерий оптимальности - показатель, количественно отражающий цель решения.

2. Ограничение – условие, которое накладывается на переменную или группу переменных, отражающее логику и взаимосвязь моделей.

Система ограничений должна быть совместна и неопределенна, в т.ч. условие неотрицательности переменных.

3. Целевая функция (функционал) – математическое выражение, для которого требуется найти экстремум.

4. Если условие экономической задачи представлено в виде математической записи, содержащей целевую функцию, систему ограничений в виде равенств и неравенств, условие неотрицательности переменных, причем некоторые переменные – произвольные по знаку, то такая запись называется исходной формой записи задачи линейного программирования.

5. Каноническая форма – характеризуется тем, что содержит целевую функцию, все ограничения равенства и все переменные неотрицательные.

6. Однородная форма записи – содержит целевую функцию, все ограничения имеют тип <= и все переменные неотрицательные.

7. Возможное решение – совокупность значений n-переменных, которые удовлетворяют только системе ограничений.

8. Допустимое решение – совокупность значений n-переменных, которые удовлетворяют системе ограничений, и при этом выполняется условие неотрицательности переменных.

9. Оптимальное решение – такое допустимое решение, при котором целевая функция принимает наибольшее/ наименьшее значение.

10. Базисные переменные – переменные, коэффициенты которой образуют единичный вектор-столбец.

11. Свободные переменные – все переменные, за исключением базисных.

12. Решение называется базисным, если система ограничений приведет к единичному базису, а все свободные переменные = 0.

Число базисных решений не превышает числа сочетаний из С (где n – число переменных, m – число линейно-независимых ограничений).

13. Опорное решение – базисное решение, в котором базисные переменные неотрицательные (допустимое базисное решение). Исходное опорное решение записывается в 1ую симпликсную таблицу.

Любое опорное решение системы условий задачи является вершиной в области допустимых решений, и наоборот.

Число опорных решений не превышает число базисных решений (т.к. частный случай).

14. Вырожденное решение – опорное решение, в котором хотя бы 1 из базисных переменных = 0.