Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.2. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка Задание 8. Составление уравнений кривых второго порядка и их построение – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять уравнения кривых второго порядка и выполнять их изображение.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

 8.1. Выучите определения окружности, эллипса, параболы, гиперболы. Используя обобщающую таблицу, проанализируйте, с помощью каких уравнений задаются кривые второго порядка, каковы основные параметры каждой линии.

8.2. Определите вид кривой второго порядка и постройте ее:

а) ; б) ; в) ; г) .

8.3. Составьте уравнение кривой второго порядка по следующим условиям:

а) уравнение окружности с центром в точке (-2; 5) и радиусом 3;

б) уравнение окружности с центром в точке (1; -2), проходящей через точку (4; -6);

в) уравнения эллипса, большая полуось а которого равна 3, малая полуось b равна 1;

г) уравнение гиперболы, действительная полуось а которой равна 6, мнимая полуось b равна 2;

д) уравнение параболы, имеющей фокус в точке (1; 0);

е) уравнение параболы, уравнение директрисы которой имеет вид .

 8.4. Определите вид кривой второго порядка и постройте ее:

а) ; б) ; в) ; г) .

Методические указания по выполнению работы:

Кривая второго порядка – линия на плоскости, задаваемая уравнением: Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0, где коэффициенты А, В, С, D, E, F – любые действительные числа при условии, что А, В, С одновременно не равны нулю.

Выделяют следующие кривые второго порядка:

1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

2. Эллипс - множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

3. Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).

4. Парабола - множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (называется фокусом) и данной прямой (называется директрисой).

Для того чтобы по заданному уравнению определить вид кривой второго порядка, удобно использовать следующую обобщающую таблицу:

№	Название	Уравнение	Вид кривой
1	Окружность
2	Эллипс		0
3	Гипербола
4	Парабола

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1. Составьте уравнение окружности с центром О(3; -2) и радиусом r = 5.

Решение. Подставив a = 3, b = -2 и r = 5 в каноническое уравнение окружности , получим: .

Пример 2. Постройте эллипс, заданный уравнением 6x² + y² = 32.

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду , для этого разделим все члены уравнения на 32, добиваясь того, чтобы в правой части была 1:

.

При сравнении с каноническим видом отмечаем, что a² = 16, b² = 32, откуда a = 4, b = .

Эллипс будет иметь вид (рис. 1):









4

-4

0

x

y

Рис. 1

Пример 3. Постройте гиперболу, заданную уравнением 16x² – 25y² = 400.

Решение. Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 400: .

Из этого уравнения можем записать a² = 25, b² = 16, т.е. a = 5, b = 4.

В

y

ыполним чертеж (рис. 2). Отметим, что ветви гиперболы будут стремиться к асимптотам, в качестве которых выступают диагонали прямоугольника со сторонами a = 5 и b = 4.

4



x

5

-5





0

-4



Рис. 2

Рис. 3

П ример 4. Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением y²=8x и постройте её.

Решение. Из канонического уравнения параболы y²=2px следует, что 2p=8, т.е. p=4, откуда p/2=2. Значит, точка F(2; 0) – фокус параболы, а x=2 – уравнение ее директрисы.

На основании определения: любая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, - схематически строим график параболы (рис. 3).

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 5, §25 – 28, стр. 145-170.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 3, §3.7, стр. 72 – 75.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 3, §7, стр. 152 – 160.