Дифференциальное уравнение Бернулли
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
называется уравнением
Бернулли (при 
или 
получаем
неоднородное или однородное линейное
уравнение). При 
является
частным случаем уравнения
Риккати.
Названо в честь Якоба
Бернулли,
опубликовавшего это уравнение в 1695
году. Метод решения с помощью замены,
сводящей это уравнение к линейному,
нашёл его брат Иоганн
Бернулли в
1697 году.
Метод решения Первый способ
Разделим все члены уравнения на
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнения в полных дифференциалах |
|
Определение уравнения в полных дифференциалах Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение
Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой
где C − произвольная постоянная. Необходимое и достаточное условие Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:
Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах
Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):
Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x). |
Пример 1 |
|
Решить дифференциальное уравнение 2xydx + (x2 + 3y2)dy = 0. Решение. Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны: Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции u(x,y): Интегрируя первое уравнение по x, получаем: Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение: Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию φ(y): так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид: где C − произвольная постоянная. |
Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Случаи понижения порядка уравнений второго и высших порядков.
—
однородное
дифференциальное уравнение второго
порядка. Решением является семейство
функций 
,
где 
и 
—
произвольные константы.
Отметим
задачу, называемую задачей Коши для
дифференциального уравнения первого
порядка. Она гласит: требуется найти
решение 
данного
дифференциального уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
,
где 
-
заданная точка плоскости 
.
Конечно, в каждом данном случае задача Коши может иметь и не иметь решение.
Если
задача Коши имеет решение, то важно
выяснить, единственно ли оно. Уже сейчас
мы отметим важный факт, который будет
доказан в § 1.6: для дифференциального
уравнения первого порядка в разрешенной
относительно 
форме
задача
Коши имеет решение и притом единственное
для любой точки
области 
плоскости
,
если заданная на этой области
функция 
непрерывна
вместе со своей частной производной 
.
Конечно,
единственность решения задачи Коши
надо понимать в том смысле, что
если 
и 
суть
ее решения, удовлетворяющие одному и
тому же начальному условию 
,
заданные соответственно на интервалах 
и 
,
то 
на
пересечении этих интервалов.