18. Применение степенных рядов (вычисление значений функций, вычисление
интегралов)
Пример 9. С помощью степенного
ряда вычислить 
с
точностью до 0,0001.
Решение. Разложим функцию в степенной ряд:
Тогда
имеем:
.
Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, то есть 0,0001.
Вычислив еще несколько
членов ряда 
,
видим, что 
.
Отбросив этот и следующие за ним члены
ряда, получим
Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение: Анализирую
подынтегральную функцию, приходим к
выводу, что нужно использовать биномиальное
разложение. Но сначала функцию надо
представить в соответствующем виде:
К сожалению, ни один частный
случай биномиального разложения не
подходит, и нам придется использовать
громоздкую общую формулу:
В данном случае: 
, 
Разложение уже на этом этапе
лучше максимально упростить. Замечаем
также, что четвертый член ряда нам,
очевидно, не потребуется, так как в нём
еще до интегрирования появилась дробь 
,
которая заведомо меньше требуемой
точности 0,001.
Не забываем, что есть еще
один множитель:
Наиболее кропотливый этап
пройден, вычислим интеграл:
Ответ: 
с
точностью до 0,001.
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения. Его порядок и решение. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной.
Дифференциа́льное
уравне́ние — уравнение,
связывающее значение некоторой
неизвестнойфункции в
некоторой точке и значение
её производных различных
порядков в той же точке. Дифференциальное
уравнение содержит в своей записи
неизвестную функцию, её производные и
независимые переменные; однако не любое
уравнение, содержащее производные
неизвестной функции, является
дифференциальным уравнением. Например, 
не
является дифференциальным уравнением.
Стоит также отметить, что дифференциальное
уравнение может вообще не содержать
неизвестную функцию, некоторые её
производные и свободные переменные, но
обязано содержать хотя бы одну из
производных.
Решением
(интегралом)
дифференциального
уравнения порядка n называется функция y(x),
имеющая на некотором интервале (a,
b) производные 
до
порядка nвключительно
и удовлетворяющая этому уравнению.
Процесс решения дифференциального
уравнения называется интегрированием.
Вопрос об интегрировании дифференциального
уравнения считается решенным, если
нахождение неизвестной функции удается
привести к квадратуре,
независимо от того, выражается ли
полученный интеграл в конечном виде
или нет.
Дифференциальное уравнение первого порядка. Общее и частное решение. Существование и единственность решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными.
Уравнение
F(x, y, y ') = 0,
где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.
Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .
График решения дифференциального уравнения называютинтегральной кривой дифференциального уравнения.
Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.
Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x0) = y0, называется задачей Коши(или начальной задачей).
Условие y(x0) = y0 — начальное условие.
Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.
Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) =C, называется общим интегралом уравнения.
Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.
Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:
Уравнения первого порядка часто записывают вдифференциальной форме:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.
Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y) .
Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) −
непрерывные функции.
Рассматривая
производную y' как
отношение дифференциалов 
,
перенесем dx в
правую часть и разделим уравнение
на h(y):
Разумеется,
нужно убедиться, что h(y)
≠ 0. Если найдется число x0,
при котором h(x0)
= 0, то это число будет также являться
решением дифференциального уравнения.
Деление на h(y) приводит
к потере указанного решения.
Обозначив 
,
запишем уравнение в форме:
Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.
«Однородные» дифференциальные уравнения первого порядка.
Однородным дифференциальным уравнением первого порядка, называется уравнение, имеющее вид
(7)
Подстановка 
; 
; 
,
где 
преобразует
это уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными.
,
,
.
Замечание. Функция 
называется
однородной степени 
,
если 
,
где 
-
некоторая константа. Например, функция 
является однородной функцией степени
два, поскольку
.
А
функция 
является
однородной функцией нулевой степени
однородности, так как
.
Поэтому общий вид однородного дифференциального уравнения часто записывают как
,
где 
-
однородная функция нулевой степени
однородности.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной.
Определение линейного уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида
где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:
Использование интегрирующего множителя;
Метод вариации постоянной.
Использование интегрирующего множителя
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
то интегрирующий множитель определяется формулой:
Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:
где C − произвольная постоянная.
Метод вариации постоянной
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:
Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.
Задача Коши
Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0) = y0, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0) = y0.
Пример 1
Решить уравнение y' − y − xex = 0.
Решение.
Запишем данное уравнение в стандартной форме:
Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:
Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:
Уравнение Бернулли.