Определение

Пусть   — последовательность функций вида   ( ) где   — область определения, единая для всех функций семейства.

Зафиксируем точку   и рассмотрим числовую последовательность вида  .

Если у этой последовательности имеется (конечный) предел, то точке  можно сопоставить предел этой последовательности, обозначив его  :

.

Если рассмотреть всё точки множества  , в которых указанный предел существует, то можно определить функцию  .

Таким образом определённая функция называется поточечным пределом последовательности функций семейства   на множестве  :

,

а про само семейство   говорят, что оно поточечно сходится к функции   на множестве  .

Область сходимости:

Область сходимости ряда. Так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма) сходится (см. Ряд). Самую простую форму имеет область сходимости степенного ряда  . Для случая действительного переменного она либо состоит из одной точки, либо является некоторым интервалом числовой оси (интервалом сходимости),  либо совпадает со всей осью х. В случае комплексного переменного область сходимости состоит либо из одной точки, либо из внутренности некоторого круга на комплексной плоскости, либо совпадает со всей плоскостью комплексного аргумента. При этом в каждом случае граница области может как принадлежать, так и не принадлежать либо частично принадлежать области сходимости ряда. Другие типы функциональных рядов могут иметь более сложное строение области сходимости.

Для нахождения области сходимости ряда существуют различные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный и т.п.).

13. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда.

Формулы для вычисления радиуса сходимости.

Определение:

Степенной ряд – это ряд, в общий член   которого входят целые положительные степени независимой переменной  . Упрощенно степенной ряд во многих учебниках записывают так:  , где   – это старая знакомая «начинка» числовых рядов (многочлены, степени, факториалы, зависящие только от «эн»). Степенной ряд. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда. 425

Функциональные ряды вида  , где   (n=1,2,…) и a–заданные комплексные числа,  -комплексное переменное, называют степенными рядами, а числа  -коэффициентами степенного ряда (1). Полагая в (1) z= -а, получим ряд   (2), исследование сходимости которого эквивалентно исследованию сходимости ряда (1).

Теорема 1 (Абеля) . Если степенной ряд (2) сходится при z= 0, то он сходится, и притом абсолютно, при любом z таком, что |z|<| |; а если этот ряд расходится при z= 0, то он расходится при всяком z, для которого |z|<| |.

а) Пусть  ={z: | z|<| |}- круг на комплексной плоскости с центром в точке Орадиуса | |, и пусть z – произвольная точка круга  , т.е. |z|<| |, поэтому q=|z/ |<1. (3) Так как ряд (2) сходится в точке  , то должно выполняться условие , откуда следует ограниченность последовательности { },т.е.  M. Используя неравенство (3) и (4), получаем | |=| |*| z/ M , где  . (5) Так как ряд  , где , сходится, то по признаку сравнения сходится ряд  ,т.е. ряд (2) сходится абсолютно в каждой точке круга  .

б) Пусть ряд (2) расходится в точке  . Тогда он должен расходиться в любой точке   такой, что | |<| |, так как в противном случае по доказанному выше ряд (2) сходился бы в точке  .

Теорема 2. Для всякого степенного ряда (2) существует R( -число или  ) такое, что: а) если   и  , то ряд (2) абсолютно сходится в круге К={z: |z|<R}и расходится вне круга K; этот круг называют кругом сходимости ряда (2), а R-радиусом сходимости ряда;

б) если R=0, то ряд (2) сходится в одной точке z=0;

в) если  , то этот ряд сходится во всей комплексной плоскости.

Теорема 3 (Абеля). Если R-радиус сходимости степенного ряда (2), причем  , и если этот ряд сходится z=R, то он сходится равномерно на отрезке [0,R], а его сумма непрерывна на этом отрезке.

Теорема 4. Если существует конечный или бесконечный  , то для радиуса R сходимости ряда (2) справедлива формула 1/R= , а если существует конечный и бесконечный  , то R= .

0,  .