1. Числовой ряд. Сумма ряда, его сходимость. Геометрическая прогрессия и гармонический ряд.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

• вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;

• комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

• числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;

• числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм:

• числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Сумма числового ряда   определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда   представляют собой комплексные числа (в частности, вещественные).

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел   (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число  (знаменатель прогрессии), где  ,  :  .

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда^[1]:

.

Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»:  -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной   от длины исходной струны

2. Свойства сходящихся рядов. Остаток ряда. Необходимое условие сходимости.

1°. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ч.р.

Рассмотрим и Пусть

 тогда

 (29.1)

Если существует конечный предел справа в (29.1), то существует и предел слева, и ряд сходится

2°. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд

с = const, сходится и имеет сумму cS.

Пусть тогда

3°. Если ряды сходятся и имеют суммы   соответственно, то ряд сходится и имеет сумму

Пусть

 тогда

Остаток ряда

Ряд, полученный отбрасыванием от исходного n первых членов, называется n-м остатком ряда.

Обозначение:

Все члены, кроме тех, что входят в n-й остаток ряда, в сумме дают т. н. n-ю частичную сумму ряда.

Для сходимости ряда   необходимо, чтобы последовательность   была бесконечно малой.

Доказательство

По условию последовательность  , а следовательно, и её остаток   имеют общий конечный предел  , но   и поэтому  , что равносильно бесконечной малости 

3. Знакопостоянные ряды. Первый признак сравнения.

Определение. Ряды, все члены которых имеют одинаковые знаки, называются знакопостоянными. Для определенности, если это не будет оговорено особо, мы будем рассматривать ряды с положительными членами или знакоположительные ряды: P, Q, …: p_n>0, q_n>0 , … для     

Очевидно, что последовательность частичных сумм знакоположительных рядов монотонно возрастает: P₁<P₂< … <P_n<P_n+1< … . Следовательно, верна

Теорема.  Для сходимости знакоположительного  ряда   необходимо и достаточно, чтобы

последовательность его частичных сумм была  ограничена.

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: Если  , то ряд расходится.

В качестве «динамической» переменной вместо «икса» у нас выступает  . Букву можно заменить другой буквой, и это не страшно, однако есть разница с содержательной точки зрения. Пределы с «иксом» называют пределами функций, а пределы с переменной «эн» называют пределами числовых последовательностей. Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера   расходится. Общий член ряда:  Вывод: ряд   расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда   и   − такие, что   для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если   сходится, то   также сходится;

 Если   расходится, то   также расходится.

4. Признак Даламбера

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число  ,  , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если  , а если   — расходится .

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. Примеры

• Ряд

абсолютно сходится для всех комплексных  , так как

• Ряд

расходится при всех  , так как

• Если  , то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда

и     

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.

Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши

Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число  ,  , что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство  , то данный ряд сходится.

Предельная форма

Условие радикального признака равносильно следующему:

То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:

Если для ряда , то если   ряд сходится, если   ряд расходится, если   вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Доказательство

1. Пусть  . Очевидно, что существует такое  , что  . Поскольку существует предел  , то подставив в определение предела выбранное   получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку  , то ряд   сходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже сходится.

2. Пусть  . Очевидно, что существует такое  , что  . Поскольку существует предел  , то подставив в определение предела выбранное   получим:

Раскрыв модуль, получаем:

Поскольку  , то ряд   расходится. Следовательно, по признаку сравнения ряд   тоже расходится.

Примеры

1. Ряд

сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака теоремы Коши

7. Интегральный признак сходимости

 Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда   

Теорема. Пусть    - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при  . Тогда ряд   и интеграл    либо оба сходятся, либо оба расходятся. Основные теоремы о пределах Введение в математический анализ

Доказательство. Ввиду монотонности при всех   выполняются неравенства  . Интегрируя, получаем  . Тогда  , или  . Поэтому если   сходится, то  . Тогда      и  ,    ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда  . Взяв произвольное    выберем   так, чтобы  . Тогда  . Значит,    сходится.

8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.

8.Знакочередующиеся ряды. Оценка остатка.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:  (монотонное убывание {an}) . Тогда этот ряд сходится.

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность   существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Пример

. Ряд из модулей имеет вид   — этогармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

1. знакочередование выполнено 

2. 

3. .

Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условно.

Оценка остатка ряда Лейбница

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток ряда r_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

Теорема Лейбница (Характер членов слагаемых Лейбница) — теоремаоб условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.

Формулировка

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

1. 

2. 

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда   будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

9. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда являетсязнакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки. Признак Лейбница Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.  Пусть {an} является числовой последовательностью, такой, что 1. an+1 < an для всех n;  2.  . Тогда знакочередующиеся ряды   и   сходятся. Абсолютная и условная сходимость Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд  . Решение. Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем        поскольку  . Следовательно, данный ряд сходится.  10. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов

Условно сходящиеся ряды

Свойства

• Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.

• Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).

• При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды

Свойства

• из сходимости интеграла   вытекает сходимость интеграла  .

• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.

• Если интеграл   расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

11. Признаки сходимости для знакопеременных рядов.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница.  Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что

1. a_n+1 < a_n для всех n;  2.  .

Тогда знакочередующиеся ряды   и   сходятся.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд   называется абсолютно сходящимся, если ряд   также сходится.  Если ряд   сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.  Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. 

12. Функциональные ряды. Поточечная сходимость. Область сходимости.

Обычный числовой ряд, вспоминаем, состоит из чисел:

Все члены ряда   – это ЧИСЛА.

Функциональный же ряд состоит из ФУНКЦИЙ:

В общий член ряда   помимо многочленов, факториалов и других подарков непременновходит буковка «икс». Выглядит это, например, так:  . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда   – это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Поточечная сходимость: