12.Зависимые и независимые события.

Событие называется независимым от события , если величина вероятности события не изменяется при появлении или непоявлении события .

Условие независимости записывается в виде: .

Событие называется зависимым от события , если вероятность события изменяется при появлении или не появлении события .

Условие зависимости записывается в виде:

Зависимость и независимость событий являются взаимными. Это значит, что если событие зависит от события , то и событие зависит от события

13.Формула полной вероятности.

Предположим, что событие   может произойти с одним и только с одним из   попарно несовместных событий   образующих полную группу. Будем эти события называть гипотезами. Иными словами положим  где события   и   при   несовместны. По аксиоме сложения вероятностей имеем Используя формулу вероятности произведения, получим

14.Формула Байеса.

Пусть произведён опыт, и в результате него наступило событие  , при этом нам известны вероятности гипотез  . Известно также, что гипотеза   сообщает событию   вероятность  . Требуется найти вероятность   каждой из гипотез в предположении, что наступило событие  . Выведем формулу Байеса. По формуле вероятности произведения мы имеем Отсюда получаем Используя формулу полной вероятности, имеем:

15.Случайные величины. Основные понятия.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Определение. Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

16.Дискретные случайные величины.

 есть дискретная случайная величина, если указано конечное или счетное множество чисел и каждому из этих чисел   поставлено в соответствие некоторое положительное число  , причем сумма всех   равна 1.Числа   называют возможными значениями случайной величины  , а числа   - вероятностями этих значений (  есть вероятность значения  ).Дискретная случайная величина задается таблицей вида с условием, что  ,  ,   положительны и их сумма равна 1.Таблицу обычно называют законом распределения дискретной случайной величины   (или рядом распределения).Если по оси абсцисс отложить  , а по оси ординат - соответствующие вероятности   и соединить соседние точки отрезками, то получим многоугольник распределения случайной

17.Случайные величины общего вида.

Определение случайной величины общего вида основывается на понятии борелевского множества.

Множество точек на числовой оси R называется борелевским, если оно может быть получено из множества вида {x|x< а} применением конечного или счетного числа операцийобъединения, пересечения и дополнения.

Определение. Говорят, что задана случайная величина   (случайная величина общего вида), если каждому борелевскому множеству А на числовой оси R поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А) так, что выполняются следующие условия:

1. P(R) = 1.

2. Если борелевские множества   попарно не пересекаются, то  (условие счетнойаддитивности).