1.8.7. О преобразовании пространственной модуляции при прохождении волны в свободном пространстве.
Пусть в плоскости
расположена амплитудная решетка (см.
рис. 1.15). с распределением (1.104) с глубиной
модуляции
.Поставим
задачу: найти распределение амплитуд
и фаз оптической волны в плоскости
,
которая расположена от плоскости
на расстоянии
вдоль оси 0z.
Для сокращения записи и для упрощения
анализа положим, что решетка бесконечна
в направлении 0х.
. (1.104)
Рис. 1.15. К расчету
распределения амплитуд в плоскости
. (1.104)
Решение.
После
прохождения через решетку в плоскости
распределение амплитуд волны имеет
вид:
.
Найдем пространственный спектр волны
в плоскости
(1.105)
Далее оптическая
волна распространяется от плоскости
до плоскости
в свободном пространстве и разные
компоненты пространственного спектра
получают различные фазовые задержки.
Чтобы найти пространственный спектр в
плоскости
,
мы должны умножить спектр в плоскости
на пространственно-частотную передаточную
функцию участка свободного пространства
.
. (1.106)
Рассмотрим эту задачу, ограничившись приближением невысоких пространственных частот. При этом воспользуемся приближенной формулой (1.20), записав:
. (1.107)
После подстановки (1.105) и (1.107) в (1.106) получим:
(1.108)
По найденному пространственному спектру в плоскости (1.108) можно рассчитать распределение амплитуд и фаз оптической волны в этой плоскости. Для этой цели используется обратное преобразование Фурье:
(1.109)
Формулу (1.109) можно записать в виде:
. (1.110)
Анализ
полученного результата.
Выражение (1.110) отличается от исходного
выражения (1.104) дополнительным множителем
перед косинусом.
Рассмотрим некоторые характерные плоскости, расположенные на расстояниях:
;
;
.
Проследим, как трансформируется распределение амплитуд при переходе от одной плоскости к другой.
При
имеем:
=
.
Для этого случая из (1.110) получим следующее распределение амплитуд в плоскости :
. (1.111)
Выражение (1.111)
описывает уже не амплитудную, а фазовую
модуляцию. В самом деле, функция фазовой
модуляции
при малой глубине модуляции может быть
представлена как
,
что совпадает с выражением (1.111).
При
имеем
:
распределение амплитуд имеет вид:
. (1.112)
Выражение (1.112) описывает амплитудную пространственную модуляцию, однако по сравнению с исходной модуляцией в плоскости она находится в противофазе.
Анализируя
дальнейшее движение плоскости наблюдения
вдоль оси z,
можно убедиться, что при дистанции
модуляция вновь станет фазовой, а при
функция модуляции превратится в исходную
функцию (1.104). При дальнейшем движении
по z
картина будет повторяться. Следует
помнить, что все эти выводы получены в
предположении, что размеры решетки
бесконечны. При конечном размере решетки
в направлении оси 0х
в дифракционной картине будут наблюдаться
искажения: вначале на краях апертуры,
а с удалением плоскости наблюдения эти
искажения будут все более заметны по
всей апертуре решетки. Точный расчет
распределений амплитуд и фаз ограниченной
решетки можно провести лишь с применением
численных методов. Вместе с тем можно
заведомо указать область, где модель
бесконечных решеток совершенно
неприменима: это область, где
т.е.
.
В этой области пучки +1 и -1 порядков
дифракции разделяются в пространстве
и более не будут участвовать в
интерференции. Результаты данного
анализа могут дать удовлетворительное
совпадение с экспериментом при
.
Например, при D
= 10 мм,
= 0,1 мм,
= 0,63 мкм,
получим
790 мм,