4.3 Фурье голограммы.

Фурье голограммы применяются в схемах обработки оптических сигналов, и в частности в схемах распознавания образов. Существенной особенностью оптических схем Фурье голографии является использование линз для выполнения операций Фурье преобразования оптических сигналов. Схема записи Фурье-голограммы представлена на рис. 4.8. В этой схеме транспарант помещен в передней фокальной плоскости линзы. Фотопластинка для записи голограммы помещена в задней фокальной плоскости линзы. На голограмму записывается Фурье образ волны, исходящей от объекта. При этом транспарант должен быть плоским, чтобы не нарушались условия формирования Фурье-образа.

Опорная волна в данной схеме формируется из точечного источника, расположенного на расстоянии d от оптической оси в фокусе вспомогательной линзы, расположенной перед плоскостью . Таким образом, в плоскости находятся: транспарант с функцией пропускания и точечный источник, который можно описать -функцией , смещенной на расстояние x = -d , т.е. . При переходе к плоскости происходит Фурье преобразование волновых фронтов.

Рис.4.8. Схема записи Фурье голограммы по методу Вандер Люгта.

Функция волнового фронта преобразуется при переходе к плоскости в функцию . Функция преобразуется в плоскую волну: .

(4.18)

В плоскости Фурье - голограммы получаем сумму опорной и предметной волн. Для сокращения записи положим :

(4.19)

Распределение интенсивности интерференционной картины, образованной в плоскости , равно произведению выражения (4.19) на комплексно сопряженное.

(4, 20)

Как и прежде будем полагать, что функция пропускания голограммы линейно зависит от интенсивности освещения голограммы.

(4.21)

Прозрачность записанной голограммы можно выразить следующей функцией:

(4.22)

Далее рассмотрим схему восстановления Фурье голограммы, которая изображена на рисунке 4.9.

Рис.4.9. Схема восстановления изображений с фурье - голограмы.

При освещении голограммы когерентной волной , направленной вдоль оси 0z, комплексная амплитуда волны после голограммы имеет вид:

(4.23)

После голограммы волна проходит через линзу, а плоскость наблюдения располагается в фокальной плоскости линзы. Как известно, распределение амплитуд поля в фокальной плоскости линзы с точностью до постоянного множителя является преобразованием Фурье от распределения комплексных амплитуд(4.23) в передней фокальной плоскости линзы.

В результате фурье преобразования первый и второй члены этого выражения дадут на выходе функции в области нулевой пространственной частоты, т.е. на оптической оси. Пятый член также мало интересен, он даст светлое пятно в некоторой окрестности вблизи оптической оси.

Рассмотрим подробнее третий и четвертый члены выражения (4.23), которые формируют действительные изображения в фокальной плоскости линзы. Перейдем от переменных к переменным x,y, применяя преобразование Фурье. Из третьего члена формулы (4.23) получим:

(4.24)

В последнем интеграле произведена замена координаты x на .

Полученное выражение повторяет исходное выражение функции пропускания транспаранта с точностью до постоянного множителя и сдвига. Эта функция сдвинута относительно начала координат на величину d в положительном направлении. При этом за положительное направление в выходной плоскости принимают направление, противоположное направлению в исходной плоскости транспаранта. При прохождении светового пучка через две линзы с совмещенными фокусами точка, находящаяся ниже оптической оси в плоскости транспаранта проектируется в точку, расположенную выше оптической оси в выходной плоскости. Вследствие этого направление осей координат инвертируется при переходе через две линзы с совмещенными фокусами.

Рассмотрим четвертый член выражения (4.23). Фурье преобразование четвертого члена выражения (4.23) имеет вид:

(4.25)

В результате фурье - преобразования четвертого члена выражения (4.23) мы получаем в выходной плоскости сопряженное изображение оригинала транспаранта, смещенное на расстояние -d и перевернутое по отношению к изображению, полученному при преобразовании третьего члена (4.23).

Следует заметить, что при визуальном рассмотрении восстановленных изображений, полученных от третьего и четвертого членов (4.23), мы не увидим различия изображений за исключением их расположения, поскольку глаз реагирует на интенсивность излучения, но не регистрирует его фазу. Оба изображения действительные, образованы сходящимися пучками, расположены симметрично относительно оптической оси.

Свойство нечувствительности к сдвигу голограммы. Фурье голограмма, записанная с помощью плоской опорной волны, обладает замечательным свойством нечувствительности восстановленного изображения к сдвигу голограммы в поперечном направлении. Это свойство оказывается полезным при построении систем хранения информации, так как погрешности установки голограммы не влияют на положение восстановленных знаков. Рассмотрим это свойство подробнее. Допустим, что голограмма сдвинута на величину по координате т.е. . Рассмотрим процесс восстановления, вычислим Фурье преобразование от смещенного третьего члена выражения (4.23):

(4.26)

При преобразовании формулы (4.26) применена замена переменных , а также использованы преобразования, примененные в формуле (4.24). Как видно из сравнения формул (4.26) и (4.24) видно, что в результате сдвига голограммы в восстановленном изображении добавляется фазовый сдвиг , который, однако, не оказывает влияния на регистрацию интенсивности восстановленного изображения.