3.2. Предельный переход к дифракции Фраунгофера.

В формуле (3.3) преобразуем разности квадратов в степени экспоненты подынтегрального выражения. Представим интеграл (3.3) в следующем виде:

(3.4)

В этом выражении множитель, содержащий в показателе экспоненты величины и вынесен за знак интеграла, так как х₂ и у₂ не являются переменными интегрирования. При некоторых условиях из подынтегрального выражения можно исключить множитель: Для этого необходимо чтобы показатель степени экспоненты был очень мал, т.е. чтобы выполнялись следующие условия:

. (3.5)

При этом

Рассмотрим пример, когда апертура представляет собой квадратную площадку размером D. В этом случае величина , а наибольшие значения переменных x , y будут следующими: .

С учетом этого условия формулу (4.5) можно записать:

(3.6)

Отсюда следует условие

. (3.7)

Приближенно это условие записывают в виде:

. (3.8)

Это соотношение является условием перехода к дальней зоне поля излучения (по другой терминологии к зоне Фраунгофера). При этом интеграл (3.4) имеет следующий вид:

. (3.9)

Перед интегралом мы имеем ряд множителей. Группа множителей является константой, которая не зависит от координат х₂, у₂. Множитель является чисто фазовым, он описывает параболическую кривизну волнового фронта в плоскости .

Двойной интеграл по площади апертуры S_A можно преобразовать к виду, который будет фактически преобразованием Фурье от распределения амплитуд поля на апертуре .

С этой целью: во-первых распространим пределы интегрирования на всю плоскость х₁у₁, т.е. от до . Это можно сделать, так как за пределами апертуры поле излучения отсутствует при ,

во-вторых: величины и преобразуем следующим образом:

(3.10)

(3.11)

Эти приближения допустимы при малых величинах углов ₁ и ₂. Ранее мы приняли условие параксиального приближения, при котором углы дифракции, ₁, ₂ мы полагаем малыми. Тогда с учетом (3.10) и (3.11) можно записать:

. (3.12)

. (3.13)

Здесь  и  в соответствии с ранее данными определениями являются пространственными частотами.

В результате с учетом (3.12) и (3.13) интеграл (3.9) можно записать в виде:

. (3.14)

Интеграл в выражении (3.14) представляет собой двумерное преобразование Фурье распределения поля на апертуре.

Если мы поставим задачу исследовать распределение интенсивности (плотности мощности) в дальней зоне, то из выражения (3.14) получим

, (3.15)

т.е. распределение мощности излучения с точностью до постоянного множителя представляет собой спектр мощности излучения с апертуры.

Рассмотрим простой пример. Допустим, что плоская когерентная волна проходит через квадратное отверстие размером 1мм. на 1мм. Длина волны излучения равна 0,63 микрометра. Составим модель проведения эксперимента по наблюдению пространственного спектра мощности.

Найдем расстояние до области дальней зоны:

Расположим экран на расстоянии 1,58 м. Например, расположим экран на расстоянии 4 метра от отверстия. Будем исследовать распределение плотности мощности излучения на экране. Напомним, что в результате анализа спектра дифрагированных волн, исходящих от щели с размером, равным D, ранее было получено выражение:

При условии, что апертура ограничена также и в направлении координаты Y

Получим:

На экране мы увидим центральное пятно, обрамленное побочными максимумами в направлениях координат X и Y.

Рассчитаем координаты первых нулей и .

Положим . При этом , а . С учетом 3.12

получим:

Аналогично