25. Определение и виды вариационных рядов. Графическое изображение вариационных рядов распределения.

Первым этапом статистического изучения вариации являются построение вариационного ряда - упорядоченного распределения единиц совокупности по возрастающим (чаще) или по убывающим (реже) значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным значением признака.

Существуют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд, интервальный ряд. Вариационный ряд часто называют рядом распределения. Этот термин используется при изучении вариации как количественных, так и неколичественных признаков. Ряд распределения представляет собой структурную группировку.

Ранжированный ряд — это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания (убывания) изучаемого признака.

Графическое изображение:

В целях наглядности дискретный ряд распределения представляют в виде полигона распределения по числу раб мест например.

Интервальный ряд распределения представляют в виде гистограммы.

26. Средняя арифметическая распределения и ее свойства. Мода и медиана.

Средней величиной называется обобщающая характеристика совокупности по какому-либо варьирующему признаку.

Виды средних:

1.Показательные:средняя арифметическая простая

Средняя арифметическая взвешенная

Средняя гармоническая простая

Средняя гармоническая взвешенная

2. Структурные: мода

Медиана

Средняя арифметическая простая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется, как сумма значений признаков у отдельных единиц совокупности. Среднюю ариф. Простую получают путем деления суммы на количество этих значений.

Основные свойства средней арифметической

1. Если индивидуальные значения признака (варианты), уменьшить (увеличить) в n раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится во столько же.

2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить (увеличить) на число А, то средняя арифметическая соответственно изменится на это же число.

3. Если вес всех осредняемых вариантов уменьшить (увеличить) в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

4. Сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю.

Мода- называется варианта признака, которая чаще всего встречается в совокупности.

Если имеется интервальный ряд распределения то мода рассчитывается по формуле:

где ХМо — нижняя граница модального интервала;

imo — модальный интервал;

fм0, fм0-1,, fм0+1 - частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при анализе покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Медиана- это величина, которая делит численность упорядоченного ряда на две равные части. При этом одна часть имеет значение признака меньше медианного,а другая больше медианного. В дискретных рядах с нечетным ранжированием медиана находится в середине ряда распределения. В дискретных рядах с четным ранжированием медиана находится, как средняя арифметическая простая двух смежных значений признаков, стоящих в середине вариационного ряда.

В Интервальных рядах определяется по формуле:

-нижняя граница медианного интервала

- величина медианного интервала

f-сумма частот ряда

- сумма частот накопленных до медианного ряда

- частота медианного интервала.

27. Дисперсия ряда распределения и ее свойства.

Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n - частота (повторяемость фактора Х)

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi — групповая средняя;

ni — число единиц в группе.

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную вариацию, т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.

2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

28. Моменты ряда распределения и связь между ними. Асимметрия и эксцесс ряда распределения.

Коэффициент асимметрии

Коэффициент асимметрии рассчитывается по формуле:

где числитель — центральный момент третьего порядка.

б^3 — куб среднего квадратичного отклонения.

Коэффициент асимметрии является безмерной величиной, что позволяет использовать его для различных распределений. При левосторонней асимметрии Mо > Mt > xср, при правосторонней — обратные соотношения. Это позволяет применять наиболее простой показатель асимметрии:

Эксцесс в статистике

Эксцесс есть степень крутости эмпирического распределения по отношению к нормальному. Он определяется по формуле:

где числитель — центральный момент четвертого порядка

Когда распределение островершинное по отношению к нормальному, эксцесс будет положительным, если плосковершинное — отрицательным. Для нормального распределения Е = 0.

29. Сущность выборочного метода. Характеристики выборочной и генеральной совокупности.

При выборочном наблюдении обследованию подвергается небольшая часть всей совокупности обычно 5-10% реже 15-20%.

Выборочным называется такое наблюдение, при котором характеристика совокупности дается по некоторой части совокупности отобранной в случайном порядке.

Выборочное наблюдение применяется в том случае когда сов-ть очень велика и ее нецелесообразно исследовать всю или когда производимое наблюдение связано с порчей или уничтожением единиц совокупности.

Всю сов-ть единиц, которую необходимо исследовать называют генеральной и ее численность обозначают через N.

Сов-ть, которая подвергается выборочному обследованию называется выборочной сов-тью и ее численность n.

В генеральной совокупности среднее значение признака, называется генеральной средней и обозначается . В выборочной сов-ть среднее значение признака называется выборочное среднее и обозначается .

В генеральной сов-ти доля единиц обладающая признаком называется генеральной долей и обозначается p.

В выборочной совокупности доля единиц, обладающая признаком называется выборочной долей и обозначается w.

Выборочная доля определяется, как отношение числа единиц обладающим принаком к общей численности выборочной совокупности.

w=

m- единицы обладающие признаком.