§5 Диференціальна форма теореми Гауса.
1. Дивергенція векторного поля
Величина потоку визначає сумарну алгебраїчну потужність джерел та стоків поля – об’єм рідини, що утворюється чи поглинається за одиницю часу.
–
середня питома потужність джерел в
одиниці об’єму.
Границю відношення потоку поля крізь замкнену поверхню до об’єму, що обмежений цією поверхнею, при стяганні його до точки називають дивергенцією поля в даній точці.
(1.6)
Фізичний зміст дивергенції – питомий потік, питома потужність джерел (стоків) поля.
Дивергенція – скалярна функція координат, локальна характеристика поля.
Обчислимо дивергенцію в декартовій системі координат.
Нехай дано точку
та задано напруженість поля
.
Знайдемо зміну потоку
через
поверхню куба, що оточує точку А зі
сторонами
.
Пронумеруємо грані куба так, щоб грані
1 та 2 були перпендикулярні осі
,
3 та 4 – осі
,
а 5 та 6 – осі
.
Обчислимо потоки через ці грані:
Тоді потік вздовж осі
:
– приріст середнього значення
при зміщенні вздовж осі
на
.
Аналогічно:
Тоді
(1.7) – визначає дивергенцію вектора
в т.
в декартових координатах.
Позначимо
.
Тоді
(1.8).
В сферичних координатах:
(1.9)
2. Теорема Гауса в диференціальній формі.
(1.10)
Дивергенція електричного поля в будь-якій точці поля дорівнює відношенню густини заряду в цій точці до електричної сталої.
Приклад: задано
.
Знайти об’ємну густину заряду
.
3. Формула Остроградського-Гауса.
(1.11)
Потік векторного поля крізь довільну замкнену поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції поля, взятому за об’ємом, що обмежений даною поверхнею.
§6. Потенціал електричного поля.
1. Потенціальність електричного поля.
Теорема про циркуляцію:
Сили, робота яких не залежить від траєкторії, а визначається лише початковим та кінцевим положенням тіла, називаються консервативними, а поля, утворені такими силами, називаються потенціальними.
(1.12)
Необхідним і достатнім критерієм потенціальності поля є умова рівності нулю циркуляції поля за будь-яким контуром.
2. Потенціал.
Якщо поле потенціальне, то
(1.13)
– відношення роботи, що виконується полем при переміщенні заряду між двома точками до величини заряду.
Потенціал електростатичного поля дозволяє ввести скалярну характеристику поля – різницю потенціалів, яка визначена однозначно і має абсолютний зміст.
Нехай в точці
потенціал
,
знайдемо потенціал
в точці
.
Потенціал – робота, що виконується силами поля по переміщенню одиничного позитивного заряду з даної точки поля на нульовий рівень.
(1.14)
Потенціал поля точкового заряду:
(1.15)
§7. Зв’язок між напруженістю і потенціалом.
1. Обчислення потенціалу за напруженістю.
(1.16)
Якщо в точці потенціал , то
(1.17)
або в диференціальній формі:
(1.18)
Приклад. Нехай поле задане
.
Знайдемо потенціал
, якщо
При розв’язанні задач є важливим:
1) раціональний вибір нульової точки;
2) раціональний вибір контуру інтегрування;
3) уважне ставлення до змінних підінтегральних виразів.
2. Обчислення напруженості за заданим значенням потенціалу.
Напруженість електричного поля в кожній точці поля дорівнює взятому із знаком “мінус” градієнту потенціалу.
(1.19)
Приклад. Для точкового заряду
(1.20)
Проекція вектора на напрямок переміщення dl дорівнює частинній похідній потенціалу по dl із знаком “мінус”.
З’ясуймо зміст дії оператора
на скалярну функцію.
Якщо
лежить в дотичній площині до
еквіпотенціальної поверхні, то
.
Оскільки ні
,
ні
не дорівнюють нулю, отримуємо, що кут
між цими векторами дорівнює
.
Тобто
перпендикулярний до еквіпотенціальної
поверхні. З означення скалярного добутку
випливає, що при одному і тому ж
,
буде максимальним, якщо
.
Градієнт потенціалу – це вектор, спрямований в кожній точці простору за нормаллю до еквіпотенціальної поверхні в сторону найбільшого зростання потенціалу.
3. Про переваги потенціалу.
1) Необхідна менша кількість рівнянь. Так для задання поля за допомогою напруженості використовуються три рівняння:
а для потенціалу лише одне:
.
2) Легкість знаходження роботи:
3) Різницю потенціалів можна безпосередньо виміряти приладами.