59)Интерполяция по Лагранжу.
П
усть
зависимость y(x)
задается n+1
табличным значением (xi,yi).
Интерполяционный многочлен для этого
метода имеет вид Pn(x)=y0b0(x)+…+ynbn(x),
где bj(x)многочлены
степени n,коэф-ты
кот можно найти с помощью n+1
уравнений. Pn(xi)=yi,i=0,1,2…n,В
результате получим систему ур-ний
y0b0(xn)+…+ynbn(xn)=yn,
причем bj(xi)=
1, i=j;
0, i/=j,
Тогда, в общем случае bj(xi)=Сj(x-x0)(x-x1)…(x-xn); так как bj(xi)= 1, то коэф С определяется выраж. С=1/(xj-x0)…(xj-xn);В результате для интерпоняционного многочелена получаем. Pn(x)=∑yj*(x-x0)(x-x1)…(x-xn)/(xj-x0)(xj-x1)…(xj-xn)
Введя обозначения Lj(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn);запишем многочлен в более компактном виде Pn(x)=∑yj* Lj(x)/Lj(xj) – общая формула Лагранжа. «-» нельзя контролировать точность вычисления, выборка должна быть симметричной. + простота.
60. Метод разделенных разностей.
Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид: Pn(x)=C0+C1(x-x0)+…+Cn(x-x0)(x-x1)..(x-xn-1) (1);Коэффициенты Cj находятся из ур-ний Pn(xi)=yi, I =0,1,…n;позволяющих записать систему: c0=y0;c0+c1(x1-x0)=y1;…;c0+…cn(xn-x0)(xn-x1)…(xn-xn-1)=yn. Из этой системы ур-ний определяем Cj, используя правые конечные разности.если Xi+1-Xi=h, то cистема примет вид: y0=c0; y1=c0+c1h; y2=c0+c1(2h)+c2(2h2); yi=c0+c1*i*h+c2*i*h[(i-1)h]+…+c(i!)hi => получаем для коэф-тов: с0=y0; c1=(y1-c0)/h=(y1-y0)/h=∆y0/h, где ∆y0 есть первая правая разность, продолжив вычисления находим c2=∆2y0/2h2, где ∆2y0 вторая правая разность,представляющая собой разность разностей. Формулу Сi представим в общем виде: Сi =∆jy0/(j!)hj; в общем случае разности более высоких порядков определяются выражением:∆jYi=∆j-1yi+1-∆j-1yi; «+» не обязательно складывать много слагаемых т.е можно складывать с контролем погрешности в (1).
61) Аппроксимация табличных данных квадратичной функции по методу наименьших квадратов.
Решается задача построения аналитической зависимости или формулы y=f(x,a0,a1,…ak)на основе табличной зависимости, полученной в результате каких-л экспериментов. Нужно найти вид зависимости. Требуется так подобрать параметры ф-ции a0,a1,…ak,чтобы разности yi→=f(x,a0…ak) и yi были наименьш.Так как разности могут быть как + так и – то за критерий качества аппроксимации S(a0…ak) принимают наименьшую сумму квадратов разностей. S(a0…ak)=∑n0[f(xi,a0,a1,…ak)-yi]2 = min; Как известно из теории ф-ции многих переменных необходимым условием минимума ф-ции S(a0…ak) явл. равенство нулю всех ее первых производных. Метод наименьших квадратов сам по себе не может дать ответ на вопрос о наилучшем виде аппроксимирующей ф-ции. Вид ф-ции выбирается на основе граф.изображения данных эксперимента.
Для квадратичной функции предполагается, что зависимость y от x имеет вид y=a0+a1*x.
a0(сверху подчеркнута как вектор)=a0, a1(подчеркнута)=a1, x(подчеркнута)=x2, получим y(подчеркн.)=a(подч)0+a(подч)1*x(подч) – формула аппрокс зависимости
62) Аппроксимация табл данных обратно пропорц функции по мнк
Решается задача построения аналитической зависимости или формулы y=f(x,a0,a1,…ak)на основе табличной зависимости, полученной в результате каких-л экспериментов. Нужно найти вид зависимости. Требуется так подобрать параметры ф-ции a0,a1,…ak,чтобы разности yi→=f(x,a0…ak) и yi были наименьш.Так как разности могут быть как + так и – то за критерий качества аппроксимации S(a0…ak) принимают наименьшую сумму квадратов разностей. S(a0…ak)=∑n0[f(xi,a0,a1,…ak)-yi]2 = min; Как известно из теории ф-ции многих переменных необходимым условием минимума ф-ции S(a0…ak) явл. равенство нулю всех ее первых производных. Метод наименьших квадратов сам по себе не может дать ответ на вопрос о наилучшем виде аппроксимирующей ф-ции. Вид ф-ции выбирается на основе граф.изображения данных эксперимента.
y=1/(a0+a1*x), делаем замену y(подчеркунутая сверху)=1/y, a0(подч)=а0, а1(подч)=а1, х(подч)=х