51) Численное решение системы нелинейных уравнений методом простых итераций. Схема алгоритма.

Метод простой итерации по существу является развитием этого же метода для одного ур. Он основан на допущении, что систему уравнений можно привести к виду:

Задают исх. приближения , подставляют их в ф. и последовательно вычисляют новые значения по схеме:

Зн. сравнивают с и выясняют, достаточно ли мало различие между ними. Если каждая переменная изменилась на достаточно малую величину, т.е. то расчет прекращается. В противном случае процесс повторяется, причем зн. исп. в качестве новых исходных значений неизвестных.

Если исходные значения слишком сильно отличаются от истинного решения, то процесс не сойдется. Область, в которой заданные исходные значения сходятся к решению, называется областью сходимости. Если исх. значения лежат за пределами этой области, то решение получить не удастся.

Условия, при которых метод итерации сходится к решению, математически задаются системой неравенств:

С увеличением числа уравнений область сх-ти уменьшается и в случае больших систем сх-ть обеспечивается лишь при условии, что исходные значения переменных очень близки к истинному решению.

Алгоритм метода:

52.. Численное решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона. Схема алгоритма.

Метод Ньютона отличается от м.простой итерации лучшей сходимостью. Основан на разложении нелинейных ф. в сходящийся ряд и исп. линейной части разложения для получения решения.

Предположим для системы:

Пусть известно k-ое приближение к истинному решению ( ). Тогда точное решение можно представить в виде ( ), где –поправки(погр. истинного решения)

Подставим точное решение в исх. систему уравнений:

Неизвестными в этой системе являются поправки

Предполагая, что ф. непрерывно дифф. В некоторой выпуклой области, содержащей , разложим левые части уравнений в степенные ряды, огр. Линейными членами:

Приведем получившуюся линейную систему к трад. виду:

Такую систему линейных уравнений можно решить прямым методом(м. Гаусса) и получить значения поправок

Вычисл. поправки позволяют перейти кслед. k+1 приближению решения:

Оно не совпадает с точным решением, но прибл. к нему. Если на очередной итерации все поправки становятся дост. малыми (<заданной погр. Е), то расчет прекращается.

53. Численное интегрирование по методу прямоугольников.

По методу прямоугольников подынтегральная кривая представляется в виду кусочно-линейной функции, отрезки которой параллельны оси абсцисс.

Промежуток интегрирования [a,b] делится на n равных отрезков длиной h.

h=(b-a)/n

u_i=a+i*h, i=0,1,...,n;

В зависимости от выбранного метода аппроксимации формулы прямоугольников могут быть представлены в различном виде.

а) Метод левых прямоугольников

Погрешность достаточно велика.

б) Метод правых прямоугольников

54)Численное интегрирование по методу прямоугольных трапеций. Схема алгоритма.

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у=f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (х_i, у_i). В этом случае площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций (рис.7.4 а, 7.4 б)

Рис.7.4 а

  Рис.7.4 б

Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле:

, i=1,2,...,n .

(7.8)

, где n - число интервалов разбиения.

Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования:

,

(7.9)

или

.

(7.10)

Формулы (7.9) и (7.10) можно представить в виде:

,	(7.11)
.	(7.12)