Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: 

2. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций 

3. Производная произведения 

4. Производная дроби (производная частного) 

5. Производная сложной функции 

21. Непрерывность функции на отрезке

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функций, непрерывных на отрезке [a, b] обозначается символом C[a, b].

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 1 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m, т.е. существуют точки α, β О [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех x О [a, b] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом maxx О [a, b] f(x), а наименьшее значение m — символом minx О [a, b] f(x).

Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

22. Табличные производные с доказательством.

Начнём с функции, которая является константой: f(x) = c. Приращение этой функции равно

нулю:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = c - c = 0:

Соответственно, обращается в нуль и производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) 0/Δx= lim(Δx->0) 0= 0

Итак, имеем первый результат — производная константы равна нулю:

c’= 0;

Теперь будем дифференцировать степенную функцию, то есть функцию вида f(x) = x^a.

Найдём производную самой простой такой функции f(x) = x. Приращение функции:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = x + Δx - x = Δx:

Производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) Δx /Δx= lim(Δx->0) 1= 1

Итак,

x‘= 1:

Перейдём к функции f(x) = x². Это абстрактный аналог рассмотренной выше физической

ситуации с s(t) = t², в которой мы искали мгновенную скорость. Нам остаётся лишь повторить (в других обозначениях) те вычисления, которые привели нас к формуле (10).

Приращение функции:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)²-x²= x²+ 2xΔx + Δx²- x² = Δx(2x + Δx):

Производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) Δx(2x + Δx) /Δx= lim(Δx->0) (2x + Δx)= 2x

Таким образом,

(x²)’ = 2x:

Проделаем то же самое с функцией f(x) = x³. Приращение функции:

Δf = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)³-x³= x³+ 3x²Δx + 3xΔx²+ Δx³ -x³ = Δx (3x² + 3xΔx + Δx²).

Производная:

f’(x)=lim(Δx->0) Δf/Δx = lim(Δx->0) Δx(3x² + 3xΔx + Δx²)/Δx= lim(Δx->0) (3x² + 3xΔx + Δx²)=3x²

Итак,

(x³)’=3x²

Точно так же можно показать, что:

(x⁴)’=4x³

(x⁵)’=5x⁴

(xⁿ)’=nx^n-1

Перейдём к тригонометрическим функциям. Вычислим производную функции f(x) = sin x.

Приращение функции:

Δf=sin(x+Δx)-sinx

Вспомним, как разность синусов превращается в произведение:

sina-sinb=2sin(a-b/2)cos(a+b/2)

Получаем:

Δf=2sin(Δx/2)cos(x+ Δx/2),

f’(x)=lim(Δx->0) 2sin(Δx/2)cos(x+ Δx/2)/Δx

Перепишем выражение для производной немного иначе:

f’(x)=lim(Δx->0) (sin(Δx/2)/(Δx/2))*(cos(x+ Δx/2))

Под знаком предела стоит произведение двух выражений — дроби и косинуса. Оказывается, что каждое из этих выражений стремится к некоторому пределу.

Начнём с дроби. Сделаем замену t = Δx/2. Ясно, что t -> 0 при Δx->0. Имеем:

lim(Δx->0) (sin(Δx/2)/(Δx/2)) = f’(x)=lim(Δx->0) (sin(t))/t) = 1

Итак, дробь стремится к 1.

Выражение x + Δx/2, стоящее под знаком косинуса, при Δx->0 стремится к x.

Косинус — непрерывная функция (график косинуса вычерчивается без отрыва ручки от

бумаги). Поэтому, согласно определению непрерывной функции, для нахождения предела косинуса можно просто положить в аргументе косинуса Δx=0.

lim(Δx->0) cos(x + Δx/2)=cos(x)

Тогда получаем, что

f’(x)=1*cos(x)=cos(x)

Итак

(sin(x))’=cos(x)

(cos(x))’=-sin(x)

Это можно показать с помощью формулы разности косинусов:

cosA-cosB=-2sin((A-B)/2)*sin((A+B)/2)