15. Сравнение функций
а) Сравнение бесконечно малых функций
Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:
1) , т.е. предел отношения функций существует и он равен нулю, в этом случае говорят, что p(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать p(x) = o(q(x)).
2) , т.е. предел отношения функций существует и он равен С - некоторой константе, в этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно малые функции одного порядка и принято обозначать p(x) = O(q(x)).
3) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.
4) , т.е. предел отношения функций существует и он равен бесконечности, в этом случае говорят, что g(x) бесконечно малая функция более высокого порядка и принято обозначать q(x) = o(p(x)).
b) Сравнение бесконечно больших функций
Также как и в предыдущем пункте будем рассматривать предел отношения двух функций. Только теперь у нас функции стремятся к бесконечности при аргументе x, стремящемся к А. Возможны следующие варианты:
1) , т.е. предел отношения функций существует и равен бесконечности. В этом случае говорят, что p(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.
2) , т.е. предел отношения функций существует и равен С - некоторой константе. В этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно большие функции одного порядка.
3) , т.е. предел отношения функций существует и равен нулю. В этом случае говорят, что q(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.
4) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции несравнимы.
16. Монотонные последовательности, их сходимость. Теорема о монотонной последовательности.
Аналогично доказательство для a=inf{Xn}
Число e, его определение.
______
17. Односторонний предел.
1.Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции и обозначают любым из символических выражений
Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений:
Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:
Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции
отличаются
друг от друга:
=
=
18. Точки разрыва. Классификация, примеры.
Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.
|
|
|
Непрерывна при x = a. |
|
Имеет разрыв при x = a. |
|
|
|
Непрерывна при x = a. |
|
Имеет разрыв при x = a. |
Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке
При этом возможно следующие два случая:
Такая точка называется точкой устранимого разрыва.
Такая
точка называется точкой
конечного разрыва.
Модуль разности значений односторонних
пределов Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. |
||||||
Пример 1 |
||||||
|
||||||
Исследовать
функцию Решение. Данная функция не определена в точках x = −1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ±1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = −1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода. Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода. |
||||||
Пример 2 |
||||||
|
||||||
Показать,
что функция Решение. Очевидно, данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция также непрерывна при всех x за исключением
точки x
= 0.
Так
как новую функцию которая будет непрерывной при любом действительном x. |
||||||
Пример 3 |
||||||
|
||||||
Найти
точки разрыва функции Решение. Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется. Вычислим односторонние пределеы при x = 0. Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва. |
||||||
Пример 4 |
||||||
|
||||||
Найти
точки разрыва функции Решение. Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке. Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода (рисунок 2).
|
||||||
Пример 5 |
||||||
|
||||||
Найти
точки разрыва функции Решение.
Функция
определена и непрерывна при всех x,
за исключением точки разрыв. Исследуем точку разрыва.
Так как значения односторонних пределов конечны, то, следовательно, в точке существует разрыв первого рода. График функции схематически показан на рисунке 3.
19.Первый и второй замечательные пределы. Первый замечательный предел
Рассмотрим
функцию y =
При
x = 0 функция
Теорема.
Доказательство
докажем,
что
Рассмотрим окружность радиуса R (рис. 1.12), OA = OC = R, тогда длина дуги АС равна: R, АВ = Rsin. Так
как
|AB|
< |
cos
= 1. Так как cos
= 1 – 2sin2 cos = (1 – 2sin2 ) = 1 – 20 = 1. Вычислим теперь . Из рис. 1.12 видим, что SOAC < SсекторOAC < SODC. (*)
SOAC
=
Подставляя последние выражения в неравенства (*), находим: R2sin < R2 < R2tg. (**) Деля все части неравенства (**) на положительное число R2sin, получим:
1
<
Применяя к неравенству (***) теорему о сжатой переменной при 0 получим:
2)
Пусть x < 0, x = –,
тогда > 0,
Итак,
доказано, что
= 1,
С помощью этого предела находятся многие другие пределы, содержащие тригонометрические функции. Второй замечательный предел Ранее рассматривались понятия последовательности (как функции натурального аргумента), предела последовательности (см. разд. 1.3, 1.4).
Рассмотрим
возрастающую последовательность:
натурального n. Если эта последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела, так как ее члены неограниченно возрастают. Если же возрастающая последовательность ограничена, то она имеет предел. Этот факт доказывается в полных курсах математического анализа [6], мы приведем лишь его полную формулировку. Теорема 1 (достаточный признак существования предела последовательности) Всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Применим эту теорему для доказательства следующей теоремы. Теорема 2 (второй замечательный предел)
Существует
предел
Доказательство.
Рассмотрим последовательность
Покажем, что эта последовательность возрастающая и ограниченная. Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона:
Преобразуем
по этой формуле
В полученном выражении:
третье
слагаемое
четвертое
и
т.д., а последнее
Получаем:
Покажем, что последовательность
Так
как
из равенства (*) меньше соответствующего слагаемого из равенства (**), кроме того, в равенстве (**) правая
часть
содержит на одно (положительное)
слагаемое больше. Отсюда заключаем,
что
Покажем,
что последовательность
ограничена (сверху), т.е.
Если
в равенстве (**) каждую из скобок
число), то получим неравенство:
Так
как
По формуле суммы геометрической прогрессии имеем:
Последовательность
этот предел называют неперовым числом и обозначают через e. Итак,
Так
как 2 < an
< 3, то 2 <
Число
e широко используется
как основание для показательной
функции
основание
для логарифмов
Рассмотрим
(рис. 1.13) функцию y =
Ее
область определения (–
20. Производная. Алгебраические свойства.
|
и
правосторонний предел 
;
называется скачком
функции.
на
непрерывность.
имеет
устранимый разрыв в точке x
= 0.
,
то в данной точке существует устранимый
разрыв. Мы можем сконструировать
,
если они существуют.
,
если они существуют.
,
если таковые существуют.
,
где существует
,
аргумент x (как всегда в математическом
анализе) выражается в радианах.
не определена.
= 1 (первый замечательный предел).
= 1. Предварительно
sin
= 0 и
cos
= 1.
|,
то 0 < sin
< .
Если 0,
то по теореме
8 (разд. 1.8)
sin
= 0. Докажем, что
,
то на основании теорем о пределах
получим:
R2sin,
SсекторOAC =
R2,
SODC
=
R2tg.
<
или 1 >
> cos (***)
=
1 (ведь
cos
= 1).
=
=
=1.
,
а потому
.
Для нее
для любого
.
с
общим членом
.
,
полагая
:
.
=
(*)
возрастающая, т.е.
:
(**)
то
и т.д., поэтому каждое слагаемое (начиная
с третьего)
.
заменить на 1 (на большее
то
.
поэтому
.
возрастает и ограничена сверху, по
теореме 1 существует предел,
.
an
3, т.е. 2 < e
3. Это число e
иррациональное и e
2,718282.
(экспонента) и как
(натуральные логарифмы).
,
которая не определена на отрезке
.
,
–1)
(0,
+
)Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как пределотношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.
Пусть
в некоторой окрестности точки 
определена функция 
Производной
функции называется такое число
,
что функцию в окрестности 
можно
представить в виде
если существует.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
[2]
[3]
…(g ≠ 0)
(g ≠ 0)