14. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn−a} является бесконечно малой. 

Если последовательность {xn→a } является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так: lim(n→∞) xn=a или xn→a  при n→∞ 

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всехn>Nэлементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣xn−a∣<ε  При этом число a называется пределом последовательности. Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε<xn−a<+ε  или, a−ε<xn<a+ε . (5') Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой ε-окрестности точки aнаходятся все элементы последовательности {xn} начиная с некоторого номера (зависящего от ε). Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {xn}. xn=a+an и xn=b+bn, где {an} и {bn} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an−bn=b−a . Последовательность {an−bn}  является бесконечно малой, а в силу равенства an−bn=b−a  все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числуb−a . Число b−a  равно нулю, т. е. b=a. Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣xn−a∣<ε  при n≥N  или, a−ε<xn<a+ε при n≥N . Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣ ∣  x1∣ ∣  ,∣ ∣  x2∣ ∣  ,...,∣ ∣  хN−1∣ ∣   . Тогда, очевидно, ∣xn∣≤A  для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности{xn}. Теорема доказана.

Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1, ... является  ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим n-й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей {xn+1−a}  и {xn−a}  являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей {xn+1−xn}  а этого быть не может в силу того, что ∣ ∣  xn+1−xn∣ ∣  =1  для всех номеров n. Последовательность {an} называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>Nэлемент an последовательности удовлетворяет неравенству ∣an∣<ε .

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn=a+an будут справедливы соотношения  xn=a+an,yn=b+bn, (6), в которых anи bn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей {an}и {bn}. Из (6) вытекает, что(xn+yn)−(a−b)=an+bn . (7) Т.к. сумма {an+bn} двух бесконечно малых последовательностей {an} и {bn} представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность {xn+yn} сходится и вещественное число a+b является ее пределом. Теорема доказана.

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn} Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3, только вместо соотношения (7) мы получим соотношение (xn−yn)−(a−b)=an−bn .

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn}сходятся к пределам a и bсоответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим xn·yn=a·b+abn+ban+an·bn или, xnyn−a·b=abn+ban+an·bn  (8) Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn}  последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам a и bсоответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n>N элементы yn нe обращаются в нуль, определена последовательность {1yn} и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем  рассматривать частное {ynxn} . В силу определения достаточно доказать, что последовательность {ynxn−ba} является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn−ba=yn·bxn·b−yn·a  (9) Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то

n·b−yn·a=(a+an)·bn−(b+bn)·an=anb−bna 

Подставляя (10) в (9), получим ynxn−ba=1yn(an−babn)  (11) Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1yn}  (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность {an−babn}  (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.