Норма вектора

Норма в векторном пространстве   над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал  , обладающий следующими свойствами:

1. 

2.  (неравенство треугольника);

3. 

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Нетрудно видеть, что из аксиом нормы вытекает свойство неотрицательности нормы:

Действительно:

Из 3 получаем, что  . Теперь из 2 получаем  . Таким образом,  .

Чаще всего норму обозначают в виде:  . В частности,   — это норма элемента   векторного пространства  .

Вектор с единичной нормой ( ) называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор   можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор   имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

10. Векторное произведение. Свойства.

Векторным произведением вектора   на вектор   в пространстве   называется вектор  , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора   равна произведению длин векторов   и   на синус угла   между ними:  ;

• вектор   ортогонален каждому из векторов   и  ;

• вектор   направлен так, что тройка векторов   является правой;

• в случае пространства   требуется ассоциативность тройки векторов  .

Обозначение:

Свойства Геометрические свойства векторного произведения

Рисунок 1: Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения.

Рисунок 2: Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений.

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения   равняется площади  параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах  и   (см. Рисунок 1)

• Если   — единичный вектор, ортогональный векторам   и   и выбранный так, что тройка   — правая, а   — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

• Если   — какой-нибудь вектор,   — любая плоскость, содержащая этот вектор,   — единичный вектор, лежащий в плоскости   и ортогональный к  ,   — единичный вектор, ортогональный к плоскости   и направленный так, что тройка векторов   является правой, то для любого лежащего в плоскости  вектора   справедлива формула

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.