7. Линейные пространства

Множество L  называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x изL);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, называемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножение на число ассоциативно: ;

1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. Евклидово пространство. Скалярное произведение, его свойства.

 Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов   сопоставляется число   так, что   и   выполняются аксиомы:

     I. 

     II. 

     III. 

     IV. 

     Число   называют скалярным произведением векторов   и  ,   - скалярным квадратом вектора   (пишут  ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов   и  .

Свойства

• теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

• Угол между векторами:

• Оценка угла между векторами:

в формуле   знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

• Проекция вектора   на направление, определяемое единичным вектором  :

,

• условие ортогональности^[2] (перпендикулярности) векторов   и  :

• Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора   и  , равна

9. Нормированное пространство. Норма.

В трёхмерном пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие:

1. Длина нуль-вектора,  , равна нулю; длина любого другого вектора положительна.

2. Умножение вектора на положительное число во столько же раз увеличивает длину вектора.

3. Действует неравенство треугольника.

Обобщение этих свойств на более абстрактные векторные пространства носит название нормы. Векторное пространство, в котором определена норма, называется нормированным пространством.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Нормированным векторным пространством называется пара  , где   — векторное пространство, а   — норма в  .

Часто обозначение   и   опускают и пишут просто  , если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.