Доказательство

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера   и тождества для экспонент  , где b — целое число.

2. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую   столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую   строк);

• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);

• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр).

Операции над матрицами Умножение матрицы на число

Умножение матрицы   на число   (обозначение:  ) заключается в построении матрицы  , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы   на это число, то есть каждый элемент матрицы   равен

Свойства умножения матриц на число:

• 1. 1A = A;

• 2. (λβ)A = λ(βA)

• 3. (λ+β)A = λA + βA

• 4. λ(A+B) = λA + λB

Сложение матриц

Сложение матриц   есть операция нахождения матрицы  , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц   и  , то есть каждый элемент матрицы   равен

Свойства сложения матриц:

• 1.коммутативность: A+B = B+A;

• 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

• 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

• 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение:  , реже со знаком умножения  ) — есть операция вычисления матрицы  , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице   должно совпадать с количеством строк в матрице  , иными словами, матрица   обязана быть согласованной с матрицей  . Если матрица  имеет размерность  ,   —  , то размерность их произведения   есть .

Свойства умножения матриц:

• 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

• 2.некоммутативность (в общем случае): AB   BA;

• 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

• 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

• 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

3. Линейно-зависимые вектора.

Векторы линейно зависимые, если существует их линейная комбинация, равная нулевому вектору, без коэффициентов линейной комбинации, равных нулю.

Свойства:

1.Если несколько векторов линейно зависимы, то по крайней мере один из них может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.

Если вектор является линейной комбинацией других, то все векторы линейно зависимы.

2. Два вектора на плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они параллельны.

3. Два вектора в плоскости = (u1, u2) и = (v1, v2) линейно зависимы, если их компоненты пропорциональны.

Линейно-независимые вектора

Несколько векторов линейно независимы, если ни один из них не может быть выраженным в виде линейной комбинации остальных.

a₁ = a₂ = ··· = a_n = 0

Например:

Определите, линейно зависимы или независимы векторы:

   = (3, 1) и = (2, 3)

 

Линейно независимы

Определите, линейно зависимы или независимы векторы:

 = (x − 1, 3) и   = (x + 1, 5)

Векторы линейно зависимы при х = 4.

Определите, линейно зависимы или независимы векторы:

 = (5, 3 − x ) и   = (x + 9, 3x + 1)

Векторы линейно зависимы при х=1 и х=-22

Убедитесь, что отрезок, соединяющий середины сторон АВ и АС треугольника: A (3, 5), B (-2, 0), C (0, -3) параллелен стороне BC и равен его половине.