27. Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x₀ X.

Говорят, что в точке x₀ функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x₀, что для любого x из этой окрестности f(x) < f(x₀).

Точка x₀ называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x₀, что для любого x из этой окрестности f(x) > f(x₀).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и x₀ – точка экстремума, то (x₀) = 0.

Д оказательство. Пусть для определенности x₀ – точка максимума, тогда найдется окрестность (x₀ – , x₀ + ) точки x₀ такая что, для любого x(x₀ – , x₀ + ) f(x) < f(x₀), т.е. f(x₀) – наибольшее значение функции f(x) на интервале (x₀ – , x₀ + ). Тогда по теореме Ферма (разд. 2.9) (x₀) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Если x₀ – точка экстремума, то (x₀) = 0 или (x₀) не существует.

В качестве примера приведем функцию f(x) = |x| (рис. 2.11).

Очевидно, что x₀ = 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x  0. А в точке x₀ = 0 производной f'(0) не существует.

Если f'(x₀) = 0 или f'(x₀) не существует, то точку x₀ будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x₀ и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x₀, и x₀ – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x₀) = 0 или (x₀) не существует). Тогда: 1) если при x < x₀ производная (x) > 0, а для x > x₀: (x) < 0, то x₀ – точка максимума; 2) если при x < x₀: (x) < 0, а при x > x₀: (x) > 0, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Пусть для x < x₀: (x) > 0, а для x > x₀: (x) < 0, т.е. при переходе через точку x₀ слева направо производная меняет знак с + на –. Тогда слева от x₀ функция f(x) возрастает, а справа от x₀ функция f(x) убывает, следовательно, x₀ – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и пусть (x₀) = 0. Если (x₀) > 0, то x₀ – точка минимума. Если (x₀) < 0, то x₀ – точка максимума.

Доказательство. Пусть (x₀) = 0 и (x₀) > 0. Покажем, что x₀ – точка минимума:

f''(x₀) = = > 0.

Тогда в некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство > 0. Отсюда, если x < 0, то (x₀ + x) < 0, а если x > 0, то (x₀ + x) > 0, т.е. слева от точки x₀ функция f(x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что x₀ – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для (x₀) < 0.

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x²e^–x. Построить ее график.

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–, ). Найдем производную: (x) = 2xe^–x – x²e^–x = xe^–x(2 – x). Тогда (x) = 0 при x₁ = 0 и x₂ = 2, где x1, x₂ – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–; 0), (0; 2), (2; +). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f(x):

x		x1 = 0	(0, 2)	x2 = 0
(x)	(x) < 0	0	(x) > 0	0	(x) < 0
f(x)	убывает		возрастает		убывает

Определим знак (x) на каждом из интервалов: если x(–, 0), то (x) < 0; если x(0, 2), то (x)>0; если x(2, +), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f(x): на первом и последнем интервалах f(x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x₁ = 0 является точкой минимума, y_мин(0) = 0, а x₂ = 2 – точка максимума, y_макс(2) =  0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и

x²e^–x = 0,

x²e^–x = , f(–1) = e  2,7.

График этой функции изображен на рис. 2.12.

28. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

Определение. Точка M0 (x0, f (x0)), отделяющая вогнутую часть от выпуклой, называется точкой перегиба графика функции f (х).

Касательная в точке перегиба пересекает график (переходит с одной стороны кривой на другую). Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится с помощью второй производной.

Теорема.Если функция у = f (х) дважды дифференцируема на некотором промежутке, причём f // (x) < 0 для любого х из этого промежутка, то на этом промежутке график функции выпуклый; если f // (x) > 0, то график вогнутый.

Из теоремы следует, что для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости кривой надо найти вторую производную функции и определить промежутки, где она положительна или отрицательна.

Необходимым условием существования точки перегиба является обращение в ноль второй производной или её отсутствие в точке x0, то есть условие f // (x0) = 0 или f // (x0) = . В случае выполнения одного из этих условий точка x0 называется критической точкой второго рода.

Достаточным условием того, чтобы точка M0 (x0, f (x0)) была точкой перегиба, является смена знака второй производной при переходе через критическую точку второго рода.

30. Дифференциа́л - линейная часть приращения функции.

Обычно дифференциал функции   обозначается  . Дифференциал в точке   обозначается  , а иногда   или  , а также  , если значение   ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке   от   может обозначаться как  , а иногда   или  , а также  , если значение   ясно из контекста.