23. Производные обратных тригонометрических и гиперболических функций

Используя теорему 5 (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

1. Если x[–1, 1], y[–/2, /2], то функции y = arcsinx, x = siny являются взаимно обратными, причем = (siny)' = cosy. Если –/2 < y < /2 (при этом –1 < x < 1), то cosy > 0, поэтому .

По теореме 5 (разд. 2.3) имеем: тогда

(–1 < x < 1).

2. Функции y = arccosx, x = cosy взаимно обратны, если x[–1, 1], y[0, ], = (cosy)' = –siny. Если 0 < y <  (при этом –1 < x < 1), то siny > 0, поэтому

.

Так как то

(–1 < x < 1).

3. Функции y = arctgx, x = tgy взаимно обратны, если y(–/2, /2), a xR. Используя равенство , получаем:

xR.

4. Для y (0, ) функции y = arсctgx, x = сtgy взаимно обратны, = –(1 + ctg²y) = –(1 + x²), поэтому

xR.

Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.

Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:

гиперболический синус

гиперболический косинус

гиперболический тангенс

гиперболический котангенс .

Для гиперболических функций справедливы тождества:

ch²x – sh²x =1. (Проверьте это!).

Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что (e^–x)' = e^–x(–1) = –e^–x (как производная сложной функции):

Итак, (shx)' = chx.

Аналогично доказывается, что (chx)' = shx.

Так как ch²x – sh²x =1, то получаем:

Аналогично можно показать, что

24. Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f ( x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  xf(x0+ x)−f(x0)=tg , где   - угол наклона секущей AB.  Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.  Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.  Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:

производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

В этом и состоит геометрический смысл производной.

25. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y'' или (x).

Итак, (x) = ( (x))'.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y''' или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак, f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))'.

Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение. = = , (x) = – , (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e^3x.

Решение. y' = 3e^3x, y'' = 33e^3x = 3²e^3x, y''' = 3³e^3x.

26.Теорема Лопиталя (раскрытие неопределенностей типа  ).

Пусть функции  ,   дифференцируемы в окрестности точке x₀, за исключением самой точки x₀, причем  , и пусть  ,  . Если существует   то существует и  , причем

= .

Замечание 3. Предел отношения двух функций может существовать, в то время как предел отношения их производных не существует.

Например,  =1, а  =  – не существует, так как   не существует.

Пример 6.3. Найти  .

Решение.

При x → 0 и x > 0  ,  , следовательно, имеем отношение двух бесконечно больших приx→ 0 и неопределенность типа  . Вычислим:

 = – = – = 0.

Пример 6.4. Найти  .

Решение.

Замечание 4. Если   при x → x₀ ( ) является неопределенностью типа   или  , и  ,g'(x) удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

= = .

Таким образом, для раскрытия неопределенностей типа   или   иногда приходится применять правило Лопиталя несколько раз.

Замечание 5. Теорема Лопиталя остается верной и тогда, когда  =  .

Пример 6.5. Найти  .

Решение.

Имеем неопределенность типа  . Применяя теорему Лопиталя два раза, получим:  = = =.

Пример 6.6. Найти  .

Решение.

Так как  , то имеем неопределенность типа (0·). Преобразуем ее к виду  :

= , затем применим правило Лопиталя:

= = = =0. 

Итак,  .

Пример 6.7. Найти 

Решение.

.

Пример 6.8. Найти  .

Решение.

.

Пример 6.9. Найти  .

Решение.

В данном случае имеем неопределенность типа  , поэтому для раскрытия этой неопределенности применим метод логарифмирования.

Пусть  . Тогда с учетом того, что логарифмическая функция  непрерывна,  имеем 

Так как  , то  .