Задание 7

Данные о месячной заработной плате 25 случайно отобранных рабочих завода приведены в таблице

Зарплата, ден. ед.	1600-1650	1650-1700	1700-1750	1750-1800	1800-1850
Число рабочих	10	5	4	4	2

Вычислите выборочную среднюю зарплату и несмещенную оценку стандартного отклонения.

Решение.

Вычислим среднюю зарплату по формуле , здесь y_i-середина i-го интервала, m_i- число рабочих i-го интервала, к - количество интервалов.

Несмещенную оценку стандартного отклонения найдем по формуле , где дисперсию находим по формуле: s²= . Для упрощения вычислений составим таблицу:

Интервалы	Число рабочих, mi	Середина интервала yi	yimi	(yi- )2mi
1600-1650	10	1625	16250	43560
1650-1700	5	1675	8375	1280
1700-1750	4	1725	6900	4624
1750-1800	4	1775	7100	28224
1800-1850	2	1825	3650	35912
сумма	25		42275	113600

Т. о, имеем = =1691; s²= =4733,333; s=68,799.

Ответ: выборочная средняя зарплата равна 1691 ден. ед. и несмещенная оценка стандартного отклонения равна 68,799.

Задание 8

Из 150 человек 100 поддерживают данного кандидата. Найти 99 % доверительный интервал доли всех избирателей, поддерживающих данного кандидата. Сколько человек нужно опросить, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что доля избирателей, поддерживающих этого кандидата, отличается от истиной не более чем на 0,05?

Решение.

1) В нашем случае =0,495. По таблице интегральной функции Лапласа находим 2,58.

Так как , то точность оценки равна

=

Доверительный интервал для доли равен . В нашем случае .

Окончательно, получим: . Т. е. процент избирателей поддерживающих этого кандидата лежит в пределах от 56,8 % до 76,6 % .

2) Дано =0,05; ; ; N=150. Формула расчета необходимой численности выборки для доли при бесповторном отборе: .

Значение 2,58.

Тогда = .

Так как искомое число n должно быть целым, округлим полученный результат до большего целого. Следовательно, n=120.

Ответ: доверительный интервал ; нужно опросить 120 человек.

Задание 9

Производительность труда ткачих У и стаж работы Х характеризуется таблицей

Х, годы	3	4	5	1	2
У, м на 1 чел/ч	10	18	19	11	16

Найти уравнение зависимости между Х и У. Какую производительность труда можно предположить у ткачихи со стажем работы 7 лет?

Решение.

В предположении, что между величинами Х и У существует линейная зависимость построим уравнение вида У=аХ+b. Коэффициенты уравнения найдем методом наименьших квадратов.

1	3	10	9	30
2	4	18	16	72
3	5	19	25	95
4	1	11	1	11
5	2	16	4	32
∑	15	74	55	240

Найдем а и b для чего решим систему двух уравнений:

В нашем случае получим

15a+5b=77

55a+15b=240

Полученную систему решим по формулам Крамера.

∆=

∆₁=

∆₂=

а= 1,8, b= 9,4

Т. о. получили У= .

Производительность труда у ткачихи со стажем работы 7 лет составит

=22 м на 1 чел/ч.

Литература

1. Лунгу К. Н.и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс.-М.:Айрис-Пресс, 2004 г.

2. Теория вероятностей: справ. пособие к решению задач/ А. А. Гусак, Е. А. Бричикова. – Мн.: ТетраСистемс, 2006 г.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов.—3-е изд., перераб. и доп.—М.: Высш. школа, 1979 г.

11