Задание 5

Рост женщины в некоторой местности является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с дисперсией, равной 81 см² . Считая, что средний рост равен 170 см, найти вероятность того, что наугад выбранная женщина будет иметь рост

1) от 161 до 166 см;

2) более 166 см.

Записать нормальный закон.

Решение.

Задана нормально распределенная случайная величина, для которой известно математическое ожидание а=170 см и среднее квадратичное отклонение

σ= =9 см. Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал (α; β) определяется формулой: Р(α<х<β)=Ф -Ф , где Ф(х)-функция Лапласа.

В соответствии с формулой находим:

1) Р(161<х<166)=Ф -Ф =Ф(-0,44)-Ф(-1)= -Ф(0,44)+Ф(1)=

= -0,17+0,3413=0,1713.

2) Р(166<х< )=Ф -Ф =Ф( )-Ф(-0,44)=0,5+0,17=0,67.

Нормально распределенная величина задается формулой плотности вероятностей:

. В нашем случае .

Ответ: 1) 0,1713; 2) 0,67; .

Задание 6

Задан закон распределения системы двух случайных величин (Х, У).

Х У	0	-1	-2
-1	0,1	а	0,2
-3	0,05	0,15	0,2

6. 1 Найти постоянную а.

6. 2 Составить ряд распределения дискретной СВ Х и построить полигон распределения.

6. 3 Вычислить вероятности событий А={X<-1} и B={X -1}.

6. 4 Найти среднее значение СВ Х.

6. 5 Найти математическое ожидание функции СВ U=X-6X-4.

6. 6 Найти степень разбросанности СВ Х относительно ее среднего значения.

6. 7 Найти дисперсию функции СВ U=X-6X-4.

6. 8 Найти ковариацию СВ Х и У. Что означает положительная ковариация?

6. 9 Найти коэффициент корреляции СВ Х и У. Может ли коэффициент корреляции равняться -2?

6. 10 Найти коэффициент корреляции СВ Х и V= -5+3Х

Решение.

6. 1 Постоянную а, находим из условия нормировки . Имеем

а=1-(0,1+0,05+0,15+0,2+0,2)=0,3

6. 2. Составить ряд распределения дискретной СВ Х. СВ Х принимает три значения 0, -1,

-2. Вероятности этих значений равны сумме вероятностей в соответствующем столбце. Тогда безусловный закон распределения СВ Х:

Х	-2	-1	0
р	0,4	0,45	0,15

Строим полигон

6. 3 Для нахождения требуемых вероятностей найдем функцию распределения СВ Х:

0 если х≤-2

0,4, если -2<x≤-1

F(x)= 0,85, если -1<x≤0

1, сли x>0.

Вычислим вероятности событий А={X<-1} и B={X -1}.

Р(А)= P( <X<-1)=F(-1)-F( )=0,4-0=0,4.

Р(В)= P(-1 Х )=F( )-F(-1)=1-0,4=0,6.

6. 4 Находим среднее значение

=М(Х)= = =-0,8-0,45=-1,25

6. 5 На основании свойств математического ожидания, находим

М(X-6X-4)=М(Х)-6М(Х)-М(4)=-1,25-6 (-1,25)-4=-1,25+7,5-4=2,25.

6. 6 Степень разбросанности СВ Х относительно ее среднего значения характеризуется дисперсией Д(Х)= = =

=1,6+0,45+0-1,5625=0,4875.

6. 7 На основании свойств дисперсии, находим

Д(X-6X-4)=Д(Х)+6² Д(Х)+Д(4)=0,4875+36 0,4875+0=18,0375.

6.8 Составим безусловный закон распределения компоненты У.

СВ У принимает два значения -1, -3.

Вероятности этих значений находим как сумму вероятностей в соответствующей строке. Тогда безусловный закон распределения СВ У:

У	-3	-1
Р	0,4	0,6

Находим среднее значение

=М(У)= = =-1,2-0,6=-1,8.

Коэффициент ковариации равен =

Положительная ковариация получается если большим значениям случайной величины Х соответствуют большие значения случайной величины Y, т.е. между ними существует тесная прямая взаимосвязь.

6.9 Найдем дисперсию СВ У.

Д(У)= = =3,6+0,6-3,24=0,96.

Коэффициент корреляции =0,146.

Коэффициент корреляции равняться -2 не может, так как .

6. 10 Найдем коэффициент корреляции СВ Х и V=-5+3Х.

Выражение V=3Х-5 линейная функция, тогда СВ Х и V связаны линейной зависимостью. Значит, .