Задание 3
Группа студентов состоит из 5 отличников, 10 хорошо успевающих, 10 занимающихся слабо. Отличники на экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад два студента. Найти вероятность того, 1) среди них окажется хотя бы один слабый студент; 2) были вызваны один хороший и один отличник, если они получили две отличные оценки.
Решение
1) Смысл выражения «хотя бы один слабый студент из двух» состоит в том, что среди вызванных двух студентов ровно один слабый студент или оба слабые студенты. Если среди вызванных двух студентов один слабый студент, то второй или отличник и хороший студент.
Наступление события –«первый слабый студент» влияет на вероятность наступления события «второй или отличник или хороший студент» (студентов останется 24 из них 15 –отличников и хороших». И наоборот наступление события –«первый отличник или хороший студент» влияет на вероятность события «второй слабый студент».
Тогда,
вероятность того, что среди вызванных
двух студентов только один слабый
студент, равна
=0,5.
Событие «среди вызванных двух студентов оба слабых студента».
Наступление события –«первый слабый студент» влияет на вероятность события «второй слабый студент» (студентов останется 24 из них 9 – слабых».
Тогда
вероятность того, что среди вызванных
двух студентов оба слабых студента,
равна
=0,3.
Тогда вероятность того, что среди вызванных двух студентов хотя бы один слабый студент , равна 0,5+0,3=0,8.
2) Событие А — «получены две отличные оценки». Такое событие может произойти при одной из следующих гипотез:
Н1 — вызваны два отличника;
Н2 — вызваны отличник и хорошист;
Н3 — вызваны два хорошиста.
Вероятности гипотез равны:
Р(Н1)=
;
Р(Н2)=
;
Р(Н3)=
;
Находим условные вероятности.
Отличник может получить только оценку отлично, и вероятность такого исхода равна 1.
Хорошист
может получить с равной вероятностью
хорошо и отлично, т. е. вероятность
получения любой оценки равна
.
Вероятность
получения двух отличных оценок, если
вызваны оба отличника равна
Получить
две отличные оценки, если вызваны
отличник хорошист можно в случае, если
хорошист получает отлично. Вероятность
такого исхода равна
.
Получить
две отличные оценки, если вызваны два
хорошиста можно в случае, если оба
хорошиста получают отлично. Вероятность
такого исхода равна
.
По формуле полной вероятности находим вероятность того, что получены две отличные оценки:
Р(А)=
=
.
Найдем
вероятность гипотезы Н2
при условии, что событие А произошло
(т.е. Р(Н2/А)
по формуле Бейеса Р(Нк/А)=
к=1, 2, 3.
Р(Н2/А)=
Ответ: 1) 0,8; 2) 0,37.
Задание 4
Автомобиль едет по маршруте, на котором установлено 6 независимо работающих светофора. Каждый светофор с интервалом в 1 мин подает красный и зеленый сигналы. Найти среднее значение и стандартное отклонение числа остановок автомобиля на этой улице. Найти функцию распределения указанной случайной величины и построить ее график.
Решение
Период смены цветов в светофоре равен 1+1=2 мин. Для того чтобы автомобиль остановился на светофоре нужно, чтобы момент проезда светофора попал в интервал времени (0; 1). Случайная величина, подчиненной закону постоянной плотности в интервале (0; 2). Тогда вероятность того, что случайная величина попадет на интервал
(0; 1) равна .
Получили вероятность того, что автомобиль остановится на светофоре р=0,5 и вероятность того, что не остановится q=1-р=1-0,5=0,5.
Х-
число
остановок автомобиля,
может принимать семь значений: х1=0,
х2=1,
х3=2,
х4=3,
х5=4,
х6=5,
х7=6.
Составим ряд распределения СВ
Х. Находим
соответствующие вероятности по формуле
Бернулли
.
х1=0,
т.е. все 6 светофоров автомобиль проедет
без остановок. Вероятность такого исхода
испытания Р(х1=0)=
0,015625.
х2=1,
т.е. автомобиль остановится только на
одном из 6 светофоров. Вероятность такого
исхода испытания Р(х2=1)=
=0,09375.
х3=2,
т.е. автомобиль остановится на двух из
6 светофоров. Вероятность такого исхода
испытания Р(х3=2)=
=0,234375.
Аналогично находим остальные вероятности.
Р(х4=3)=
=0,3125;
Р(х5=4)=
=0,234375;
Р(х6=5)=
=0,09375;
Р(х7=6)=
0,015625.
Имеем ряд распределения:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
р |
0,015625 |
0,09375 |
0,234375 |
0,3125 |
0,234375 |
0,09375 |
0,015625 |
Вычислим числовые характеристики.
Математическое ожидание и есть среднее значение числа остановок:
М(Х)=
=
=3
Дисперсия:
=
=
=1,5
Стандартное
отклонение равно:
=1,225.
Находим функцию распределения:
0,
если х≤0,
=
0,015625, если 0<х≤1,
0,109375, если 1<х ≤2,
0,34375, если 2<х ≤3,
0,65625, если 3<х ≤4,
0,890625, если 4<х ≤5,
0,984375, если 5<х ≤6,
1, если х>6.
Строим график функции :
Ответ: среднее число остановок равно 3, стандартное отклонение равно 1,225.