Вариант 8 Задание 1

Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

1) хотя бы один раз; 2) не менее 3- х раз и не более 4 –х раз.

Решение

При бросании симметричной монеты с равной вероятностью может выпасть герб и число. Всего два варианта. Значит, при каждом испытании герб выпадет с вероятностью и герб не выпадет - .

1) Событие А – «герб выпадет хотя бы один раз из семи бросаний» есть сумма несовместных событий означающих, что герб выпадет один раз или два раза или три раза или четыре раза или пять раз или шесть раз или все семь раз. Событие А является противоположным событию - «герб не выпадет ни разу». Так как все бросания монеты являются независимыми событиями, то искомую вероятность найдем по формуле:

Р(А)= =0,9921875

2) Событие В – «герб выпадет не менее 3- х раз и не более 4 –х раз» есть сумма несовместных событий означающих, что герб выпадет ровно три раза из семи или ровно четыре раза из семи. Искомую вероятность найдем, используя формулу Бернулли и формулу суммы несовместных событий:

=

= 0,546875.

Ответ: 1) 0,9921875; 2) 0,546875.

Задание 2

Из букв разрезной азбуки составлено слово «повторение». Ребенок не умеющий читать, рассыпал эти буквы, и затем часть их собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что 1) буква «о» появится раньше «р»; 2) у него получится слово «перо».

Решение.

1) Обозначим событие А –«буква «о» появится раньше «р»». Этому событию благоприятствуют следующие события.

В₁–« буква «о» появится при первом извлечении». Всего 10 букв из них 2 буквы «о», тогда вероятность вытащить первой букву «о»; равна Р(В₁)= .

В₂-«буква «о» появиться второй, при этом первой была не «о» и не «р»». Т. е. первой будет любая из 7 оставшихся букв «п», «в», «т», «е», «н», «и» «е».

Вероятность вытащить первой любую из 7 букв, равна . Одну букву взяли, значит всего осталось 9 букв, из которых 2 буквы «о». Тогда, вероятность, что второй будет буква «о» при условии, что первая - любая из 7 букв, равна Р(В₂)= .

В₃- «первая и вторая - любая из 7 букв «п», «в», «т», «е», «н», «и» «е», а третья - буква «о»». Вероятность того, что третьей будет букву «о» при условии, что первых две любая из 7 равна Р(В₃)= .

В₄- « первая, вторая, третья - любая из 7 букв, а четвертая буква «о»». Вероятность того, что четвертой будет буква «о» при условии, что первых три - любая из 7 букв равна Р(В₄)= .

В₅- « первая, вторая, третья, четвертая - любая из 7 букв, а пятая буква «о»». Вероятность того, что пятой будет буква «о» при условии, что первых четыре - любая из 7 букв равна Р(В₅)= .

В₆- « первая, вторая, третья, четвертая, пятая - любая из 7 букв, а шестая буква «о»». Вероятность того, что шестой будет буква «о» при условии, что первых пять - любая из 7 букв равна Р(В₆)= .

В₇- « первая, вторая, третья, четвертая, пятая, шестая - любая из 7 букв, а седьмая буква «о»». Вероятность того, что седьмой будет буква «о» при условии, что первых шесть - любая из 7 букв равна Р(В₇)= .

В₈- « первая, вторая, третья, четвертая, пятая, шестая, седьмая - любая из 7 букв, а восьмая буква «о»». Вероятность того, что восьмой будет буква «о» при условии, что первых семь - любая из 7 букв равна Р(В₈)= .

Тогда Р(А)= Р(В₁)+ Р(В₂) +Р(В₃) +Р(В₄)+ Р(В₅)+Р(В₆)+Р(В₇)+Р(В₈)=

= .

2) Событие А – «первая буква п»; В – «вторая буква е»; С – «третья буква р»; D– «четвертая буква о». События А, В, С, D зависимы, т. к. наступление события одного из них влияет на наступление следующего (букв остается меньше). Находим условные вероятности событий.

Всего 10 букв из них одна буква «п», тогда Р(А)= .

Осталось 9 букв, из них две буквы «е», тогда Р(В/А)= .

Осталось 8 букв, из них одна буква «р», тогда ; Р(С/АВ)=

Осталось 7 букв, из них две буквы «о», тогда Р(D/АВC)= .

Тогда P(ABCD)= Р(А) Р(В/А) Р(С/АВ) Р(D/АВC)= 0,0008.

Ответ: 1) ; 2) 0,0008.