12. Функция непрерывных процентов

Рассмотрим алгоритм формир-я ф-ции непрер. %. Для этого обозначим через Q сумму вклада по истеч-ии n периодов времени, а через Q₀ – первонач. 𝛴(депозит), помещ. в банк под 100% годовых.Через год 𝛴 депозита составит Q₁ =2Q₀, а через полгода- Пусть последняя 𝛴 вновь будет помещена в кач-ве депозита в том же банке. В этом случае в конце года депозит составит

Если депозит помещать ежеквартально, то , а при ежемесячном размещ-ии в конце года депозит составит Аналогично при ежеднев.: Если операцию открытия-закрытия счета производить непрерывно, то к концу года депозит составит Т. о., при номинальной ставке 100 % и непрерывном на­числении % доход за год может составить не более 172 %. В общем, но реальном, а не идеализированном случае, если % начисления р, а год разбит на п частей, то через t лет 𝛴 депозита достигнет величины Если обозначить через r= p/100, то последнее выр-е можно привести к виду:

Если далее устремить п к бесконечности, то сумма Q₀, вложенная в банк под р %годовых, за t лет достигнет теоретически предель­ной суммы

С оотн-е предст-ет собой ф-wb. непрерыв. %, где в кач-ве аргумента выступает t= 1,2,…n

13. Логарифмическая производная. Ставка банковского % по кредиту на стр-во.

При выx-ии ставки банковского % исп-ся лога­рифмическая производная, под которой для положительной функции y=f(x) понимается (1пу)'_х.

Дифференцируя функцию In y как сложную, будем иметь:

Поскольку пр-ная хар-ет ск-ть изм-ия ф-ции,то величину y’/y — естественно считать как относит. ск-ть изм-я функции. В эк-ке (In y)’_x называют темпом роста ф-ции y. В общем сл-е, если

Р ассмотрим ф-цию Q_t предст. собой величину вклада (депозита) в момент времени t. Пусть % нач-ся один раз за период времени ∆t. Необходимо определить годовую ставку банковского % r по функции Q_{t, %} за период ∆t сост- ют

Т.о., ставка банк. % совпадает с логарифмич. производной от вел-ны вклада. Ранее мы установили, что ф-ция непрерыв. % Q имеет вид Рассмотрим Тогда след., логаримич. пр-ная ф-ции непрер. % = год. ставке банк. %.

14. Производсв. ф-ции в стр. области. 15. Пр-ная ф-ция одной переем. Типы пр-ных ф-ций 2-х переменыых. Пр-ная ф-ция одной перемен. - ф-ция, неза­вис. переем. кот. прин. зн-я объемов затрач. р-са (ф-ра пр-ва), а завис. переем. предст. со­бой зн-я объемов выпускаемой прод-ции. Ее пред­ставляют в традиц. форме записи математической функции y= f(x). При этом для нее характерно, что как у так и х принимают только положит. зн-я. Производств. ф-ция у = f(x) на­зывается одноресурсной или однофакторной. Запись у = f(x) означает, что если ресурс затрачивается в количестве х ед., то прод-ция вы­пускается в количестве у ед. Символ f означает правило, по кот/ пр-ная система пре­образует ресурс в выпуск. В кач-ве примера ф-ция видв y=f(x)= ax^b.Она обладает св-вом уменьшения приращения ф-ции при увел. аргумента при одном и том же цриращении аргумента. Это позволяет ее исполmp/ в кач-ве производственной ф-ции для тех пр-в, в кот. с ростом вели­чины затрачиваемого ресурса объем выпуска проl-ции растет, однако, при этом каждая доп/ единица р-са дает все меньший при­рост объема выпускаемойпрод--ции. Пр-ная ф-ция 2-х переем..

Н а практике чаще имеют место след. нер-ва противопол. смысла Опыт показывает, что вусловиях чисто экстенсивного роста пр-ва (увелич. объем пр-ва без изменения технологии) увелич. затрат лишь одного производств. р-са приводит к снижению его эфф-ти. Это связано с тем, что каждая последующая ед. возрастающего р-са соединяется со все меньшим приходящимся на нее кол-вом др. р-са.

Типы пр-ных ф-ций.

Степенная пр-ная ф-ция.. Дост-ва такой ф-ции состоят, во-первых, в наличии небольшого числа параметров, имеющих явный эк. смысл, и, во-вторых, в сущее-нии производных высших порядков. Кроме того, степенные пр-ные ф-ции с помощью логарифмирования сводятся к функциям линейным (относительно новых логарифмических переменных), что удобно для оценки параметров по статистическим данным. Функция с фиксированными пропорциями ресурсов (функция Леонтьева). Эта функция имеет вид

где а,Ь - параметры. Параметры хар-т удельные затраты капитала и труда, необходимые для выпуска прод-ции в кол-ве А. Ф-ция Леонтьева предназначена в основном для моделирования строго детерминированных технологий, которые не допускают отклонения от технологических норм и нормативов использования ресурсов на ед. прод-ции

Линейная функция.

Линейная функция применяется при моделировании крупномасштабных систем (крупная компания, отрасль, страна), у которой производство продукции есть результат одновременного функционирования большого числа различных технологий.

Производственная функция Алена.

Функция Алена при положительных коэффициентах b, с используется для формализованного описания производственных процессов, у которых чрезмерный рост одного из ресурсов негативно влияет на объем выпуска продукции. Такая функция применяется для описания мелкомасштабных производственных систем с ограниченными возможностями переработки ресурсов.

Производственная функция CES. Ф-ция CES исп-ся в случае отсутствия точной информации относительно уровня взаимозамещаемости производственных ресурсов, Функция используется для моделирования широкого диапазона производственных процессов и имеет вид