12. Формулы векторного произведение векторов, заданных проекциями. Условие коллинеарности векторов.

Условия коллинеарности векторов

• Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны

• Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Формулы векторного произведение векторов, заданных проекциями.

13. Смешанное произведение 3-х векторов. Геометрическое толкование. Признак компланарности 3-х векторов.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

1. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

2. Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

3. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.

14.Уравнение прямой с угловыми коэффициентом и проходящие через заданную точку.

Уравнение с угловым коэффициентом.

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х₀;у₀).

Уравнение прямой записывается в виде .

Подставим в это уравнение точку М

Решим систему:

15.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂)

16. Общее уравнение прямой линии. Угол между двумя прямыми.

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n₁ и n₂ то направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Угол между 2 прямыми.

;

17. Полярная система координат на плоскости.

Возьмем на данной плоскости произвольную точку О и назовем её полюсом. Проведем на данной плоскости из точки О направленный луч, который назовем полярным лучом. Пусть М – произвольная точка данной плоскости. Соединим точку М с полюсом отрезком прямой и назовем этот отрезок ОМ и его длину полярным радиусом точки М. Угол поворота полярного луча вокруг полюса против часовой стрелки до совпадения с полярным радиусом точки М назовем полярным углом точки М.

рис.1.

Определение. Упорядоченная пара действительных чисел называется полярными координатами точки М.

Определение. Полярной системой координат на плоскости называется полюс и полярный луч вместе с понятием полярных координат любой точки плоскости.

Замечание. Полярные координаты однозначно определяют положение любой точки на плоскости, за единственным исключением – самого полюса. Чтобы восстановить однозначность для любой точки плоскости полагают полярные координаты полюса равными нулю:

О(0; 0). Полярный угол рассматривают в пределах одного оборота и, как в тригонометрии, поворот против часовой стрелки считают положительным, а по часовой стрелке – отрицательным. Чаще всего полагают, что полярный угол .