4.Теорема Кронека-Капелли. Решение систем алгебраических уравнений матричным способом.

Теорема Кронека-Капелли

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*

Решение системы линейных алгебраических уравнений по

матричному методу определяется равенством  Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы  . Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу   только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

 

5. Собственное значение и собственные векторы матрицы.

Пусть задан вектор Х= такой что х1(кв)+х2(кв)+х3(кв)

Если после преобразования вектора Х с помощью матрицы А получается вектор I= A * X и вектор I = ʎX, то вектор Х называется собственным вектором линейного преобразования матрицы А, а ʎ cобственным значением.

Отсюда А*Х= ʎ*Х (1)

АХ-ʎ*Х*Е=0

(А-ʎЕ)Х=0 (2) – если расписать в буквенном виде

(3)

Если определитель равено 0 то однородная система (3) имеет не нулевое решение

Дельта =

Раскрыв определитель «дельта» получаем уравнение 3-го порядка

ʎ^3 + b1 ʎ^2 +b3 = 0 (5) – характеристическое уравнение

Решая его найдем корни ʎ1, ʎ2, ʎ3 это будут собственные значения

Собственные вектора – для этого подставляем корни ʎ1, ʎ2, ʎ3

ʎ1 :

ʎ2 :

ʎ3 :

6. Определение вектора. Модуль вектора. Определение компланарных, коллинеарных и равных векторов.

Вектором называется направленный отрезок  ; точка   - начало, точка   - конец вектора. Характеризуется величиной ии направлением.

(модулем) вектора   называется расстояние между его началом и концом: 

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости

Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

 , если 

7. Проекция вектора на ось. Разложение вектора на ось по единичным векторам.

Проекцией вектора   на ось   называется длина отрезка  , взятая со знаком "+", если направление   совпадает с направлением вектора  , и со знаком "-", если направление  противоположно направлению единичного вектора оси 

Проекция вектора   на ось   обозначается символом  .

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор   и его проекция - вектор   - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора   на некоторую ось   равна проекции на эту же ось вектора  , умноженного на число  :

Проекция вектора   на ось   равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось  :

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.

Орт координатной оси   обозначается через  , оси   - через  , оси   - через   (рис. 1).

Для любого вектора   , который лежит в плоскости   , имеет место следующее разложение:

Если вектор   расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: