34. Производные основных элементарных функций (степенных, логарифмических, показательных и гиперболических функций). Производная сложной и обратной функции. Производные тригонометрических функций.

1) Производная логарифмической и показательной функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = a^x с основанием a определяется формулой

Если a = е, то получаем результат в виде

Производная логарифмической функции y = log_a x определяется выражением

Для натурального логарифма y = ln x производная равна

2) Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями e^x и e^−x. Например, гиперболические синус и косинус определяются как

Производные этих функций имеют вид

Остальные формулы доказываются аналогично .

3)Производная степенной функции

Если f(x) = x^p, где p - действительное число, то

Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x^−p, то

Производная обратной функции

   Пусть f : [a, b] → [c, d] непрерывная, строго монотонная на интервале [a, b] функция, имеющая производную в точке х₀ [a, b]. Тогда обратная функция g = f ^-1: [c, d] →[a, b] имеет производную в точке y₀ = f(x₀) интервала [c, d] равную

,

если f '(x₀) ≠ 0. Если f '(x₀) = 0, то g '(y₀) = + ∞ (в случае, когда f возрастает), и g '(y₀) = − ∞ (в случае, когда f убывает).    Доказательство. Пусть f (x) возрастает на [a, b] и f '(x) ≠ 0. Тогда в окрестности точки y₀ = f (x₀) существует обратная функция g = f ^-1; она непрерывна и также возрастает на [c, d], в силу чего g (y) ≠ g(y₀), если у ≠ у₀. Таким образом,

.

Производная сложной функции

Пусть функция f: [a, b] → [c, d], а функция g:[a₁, b₁] → [c₁, d₁], причём [a₁, b₁] [c, d]. Если функция f дифференцируема в точке х₀ [a, b], а функция g дифференцируема в точке y₀ = f (x₀) [a₁,b₁], то сложная функция F(x) = g( f ( x )) имеет в точке х₀ производную, равную

g ' ( f ( x₀ ) )·f ' ( x₀ ).

Производные тригонометрических функций

Производные четырёх тригонометрических функций и, соответственно, четырёх обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):

35. Дифференциал, его геометрический смысл. Непрерывность. Дифференциал суммы, произведения и частного. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала функций. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование неявных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница(без доказательства).Механический смысл второй производной. Уравнение касательной и нормали к плоскости кривой.

Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x) ).

Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.