38. В общем случае волновое уравнение записывается в виде

,

где   — оператор Лапласа,   — неизвестная функция,   — время,   — пространственная переменная,   — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны и записывается в виде

.

 ВОЛНОВОЕ ЧИСЛО k:

        С помощью введенного волнового числа уравнение волны запишется:

        Если мы рассматриваем не одномерную волну, удобно наряду с волновым числом ввести ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР k, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением луча (направлением распространения волны). В векторном виде уравнение волны будет выглядеть так:

здесь r - радиус вектор точки пространства; j₀ - начальная фаза колебаний в начале координат.

     Уравнение сферической волны отличается тем, что амплитуда волны убывает с расстоянием от источника:

A₀ = const по смыслу формулы есть амплитуда волны на единичном расстоянии от источника.

        Уравнение волны в дифференциальной форме обычно называют волновым уравнением; вид этого уравнения следующий:

     или     

Здесь DS - оператор

Лапласа:

        Уравнение синусоидальной волны является решением волнового уравнения (можно проверить подстановкой). Общее же решение волнового уравнения следующее:

        Здесь А и В - произвольные константы, а f₁ и f₂ - произвольные дважды дифференцируемые функции. Первое слагаемое описывает волну, распространяющуюся слева направо, второе - встречную волну.

39.   Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

,

где u — возмущения в точке х в момент времени t,   — амплитуда стоячей волны,   — частота , k — волновой вектор,   — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.

4. 40. Объективные характеристики звука.

Любое тело, которое находится в упругой среде и колеблеться со звуковой частотой, является источником звука. Источника звука можно поделить на две группы: источники, которые работают на собственной частоте, и источники, которые работают на вынужденных частотах. К первой группе принадлежат источники, звуки в которых создаются колебаниями струн, камертонов, воздушных столбов в трубах. Ко второй группе источников звука принадлежат телефоны. Способность тел излучать звук зависит от размера их поверхности. Чем большая площадь поверхности тела, тем лучше оно излучает звук. Так, натянутая между двумя точками струна или камертон создают звук довольно малой интенсивности. Для усиления интенсивности звука струн и камертонов их объединяют с резонаторными ящиками, которым присущий ряд резонансных частот. Звучание струнных и духовых музыкальных инструментов основано на образовании стоящих волн в струнах и воздушных столбах.

Интенсивность звука, который создается источником, зависит не только от его характеристик, а и от помещения, в котором находится этот источник. После прекращения действия источника звука рассеянный звук не исчезает внезапно. Это объясняется отбиванием звуковых волн от стен помещения. Время, на протяжении которого после прекращения действия источника звук полностью исчезает, называют временами реверберации. Условно считают, что время реверберации равняется промежутку времени, на протяжении которого интенсивность звука уменьшится в миллион раз.

Время реверберации – это важная характеристика акустических свойств концертных залов, кинозалов, аудиторий и др. При большом времени реверберации музыка звучат довольно громко, но невыразительно. При малом времени реверберации музыка звучат слабо и глухо. Поэтому в каждом конкретном случае добиваются наиболее оптимальных акустических характеристик помещений.