30. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Найдем, как зависит от времени скорость и ускорение тела, совершающего гармонические колебания по закону

x = x_maxcosωt. (3) 

вдоль координатной оси OX. Скорость υ_x движения тела определяется выражением

υ_x = ∆ x/∆t. 

     Более строго проекция скорости поступательного движения тела на ось ОХ определяется как производная координаты x по времени:

υ_x = x’(t) = – x_maxωsinωt = x_maxωcos(ωt+π/2) (4) 

     Для определения проекции ускорения движения тела в любой момент времени необходимо найти производную от проекции скорости υ_x по времени t:

a_x = υ_x’(t) = – x_maxω²cosωt = x_max ω²cos(ωt+π) (5)

,

где k – положительная постоянная. Качественно колебательное движение можно описать с помощью потенциальной кривой, т.е. графика функции  . В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия E состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения:

   .

При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия системы состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения

  .

Эти выражения равны друг другу, так как  . Выясним, как изменяется со временем кинетическая и потенциальная энергия гармонического колебания.

- кинетическая энергия гармонического колебания.

  - потенциальная энергия гармонического колебания.

Сложив эти два выражения и приняв во внимание, что  , получим формулу для полной энергии:

31. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Сложим гармонич. колебания одного направления и одинаковой частоты и построим векторные диаграммы этих колебаний 

Т.к. векторы А1 , А2 -вращаются с одинаковой угловой скоростью, то разность фаз будет постоянной.  . В этом выражении амплитуда А и начальная фаза  задаются соотношениями 

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой что и складываемые колебания. Амплитуда зависит от разности фаз.

В результате сложения колебаний мало отличающихся по частоте получаются колебания с периодически меняющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонич. колебаний с близкими частотами, наз. биениями.

Период биений 

Амплитуда биений 

Частота биений 

32.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде   (1)  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как      и заменяя во втором уравнении   на   и   на   , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:   (2)  Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.  Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют для нас физический интерес:  1) α = mπ (m=0, ±1, ±2, ...). В этом случае эллипс становится отрезком прямой   (3)  где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис. 1а), а знак минус — нечетным значениям m (рис. 2б). Результирующее колебание есть гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой , которое совершается вдоль прямой (3), составляющей с осью х угол . В этом случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;  2) α = (2m+1)(π/2) (m=0, ± 1, ±2,...). В этом случае уравнение станет иметь вид   (4)  Это есть уравнение эллипса, у которого оси совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 2). Если А=В, то эллипс (4) превращается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями иликолебаниями, поляризованными по кругу.  Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний. На рис. 3 даны фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (даны слева) и разностей фаз (даны вверху; разность фаз равна φ).  Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, которые параллельны осям координат. По виду фигур можно найти неизвестную частоту по известной или найти отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко применяемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

33. Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида   в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний   или её квадрата.

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где   — сила сопротивления,   — сила упругости