12.5.3. Примеры решения задач

Задача 1. Определить потери тепла через стенку длиной 5 м, высотой 3 м, толщиной  = 0,25 м, если на поверхностях стенки поддерживаются температуры t₁ = +20 °C, t₂ = –5 °C, коэффициент теплопроводности стенки  = 0,6 Вт/(м·град).

Потери тепла через стенку составят

 Вт.

Задача 2. Стенки топки парового котла выполнены из огнеупорного кирпича толщиной  = 0,25 м. Температуры на внутренней и внешней поверхностях t₁ = 1350° C, t₂ = 50° C. Теплопроводность кирпича зависит от температуры  = 0,93(1+0,00075t). Вычислить и изобразить в масштабе распределение температур внутри стенки на расстояниях x₁ = 0,05 м, x₂ = 0,1 м, x₃ = 0,15 м, x₄ = 0,2 м.

Определяем среднее значение теплопроводности стенки при её средней температуре

° C.

Вт/(м·град).

Количество тепла, проходящее через 1 м² стенки,

Вт/м².

Так как процесс стационарный, это же количество тепла пройдет сквозь слой толщиной ₁ = 0,05 м.

Рис. 12.3. Распределение температур внутри однородной стенки

.

Здесь t_х1 — температура внутри стенки на расстоянии ₁ = 0,05 м.

Отсюда

°C.

Аналогично определяем температуры в остальных сечениях стенки.

Температура внутри стенки на расстоянии ₂ = 0,1 м:

° C.

Температура на расстоянии ₃ = 0,15 м:

° C.

Температура на расстоянии ₄ = 0,20 м:

°C.

На рис. 12.3 приведен график распределения температур внутри плоской однородной стенки.

12.6. Теплопроводность цилиндрической стенки

12.6.1. Однослойная стенка (труба)

Рассмотрим однородную однослойную трубу (рис. 12.4) длиной l, с внутренним радиусом r₁ и наружным радиусом r₂. Коэффициент теплопроводности материала постоянен и равен . На внутренней и внешней поверхности трубы поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂ соответственно. Причем t₁ > t₂. Температура изменяется только в радиальном направлении. Температурное поле в этом случае будет одномерным, а изотермические поверхности будут цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось.

Рис. 12.4. Однослойная цилиндрическая стенка

Выделим внутри стенки трубы кольцевой слой радиусом r и толщиной dr, ограниченный двумя изотермическими поверхностями. Количество тепла, согласно закону Фурье проходящее в единицу времени через этот слой, можно определить как

. (12.21)

Разделяя переменные, получим

.

После интегрирования имеем

. (12.22)

Подставляя значения переменных на границах стенки: при r = r₁, t = t₁ и при r = r₂, t = t₂ получаем два уравнения и вычитая почленно из первого второе получим

. (12.23)

Отсюда

. (12.24)

Количество тепла, передаваемое через цилиндрическую стенку пропорционально длине трубы, коэффициенту теплопроводности и разности температур и обратно пропорционально натуральному логарифму отношения внешнего диаметра трубы d₂ к внутреннему d₁.

Количество тепла, проходящее через, стенку может быть отнесено к единице длины трубы, либо к единице площади внутренней или внешней поверхности трубы. В этом случае расчетные формулы примут вид:

. (12.25)

где q₁ — количество тепла, передаваемое через единицу длины трубы, Вт/м.

. (12.26)

где — количество тепла, отнесенное к единице площади внутренней поверхности трубы, Вт/м².

. (12.27)

где — удельный тепловой поток (плотность теплового потока) проходящий через единицу площади наружной поверхности трубы; Вт/м².

При этом связь между этими удельными потоками, отнесенными к разным величинам, будет определяться следующими соотношениями:

, (12.28)

. (12.29)

Из уравнения (12.22) можно получить уравнение температурной кривой, если подставить в него значения Q и C.

. (12.30)

При постоянном значении коэффициента теплопроводности ( = const) температура внутри стенки изменяется по логарифмическому закону.