1.Матрицы и действия с ними. Обратная матрица.

Матрица – множество n*m чисел, расположенных в прямоугольной таблице из n строк и m столбцов. Числа в таблице – элементы матрицы.

Матрица-строка, матрица-столбец, квадратная матрица, единичная матрица, нулевая матрица, противоположная матрица (элементы соответственно противоположны), треугольная матрица

Действия:

Сложение и вычитание.

Умножение на число.

Умножение (Количество столбцов первой равно количеству строк второй)

A^t – Транспонированная – столбцы и строки меняются местами

 – союзная – из алгебраических дополнений матрицы A (A_ik= (-1)^^(i+k) *m_ik - минор )

A^-1=1/det(A) * Â^t

2. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица  . Умножим обе части матричного уравнения A*X=B  слева на  . Имеем *(A*X)=  *B. Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как( *A)*X=  *B, а по определению обратной матрицы  *A=E (E– единичная матрица порядка n на n), поэтому  

3. Определители n-го порядка и их свойства. Разложение определителя по строке(столбцу). Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n}   (i =  ) или j- го столбца d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_{n j} A_{n j}  

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Свойства определителей

Свойство 1. При перестановке двух строк (или столбцов) опре-

делитель меняет знак.

Свойство 2. Общий множитель какой-либо строки или столбца

можно выносить за знак определителя.

Свойство 3. Если в определителе две строки (или два столбца)

пропорциональны (в частности, равны), то определитель равен

нулю.

Свойство 4. При замене всех строк определителя на столбцы с

теми же номерами величина его не изменится.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) ну-

ли, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам ка-

кой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элемен-

ты другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Свойство 7. Сумма попарных произведений элементов какой-

либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю

4.Решение систем n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по правилу Кремера.

Для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера нужно вычислить определители Δ, Δx₁, Δx₂, Δx₃, где Δ - определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, Δx1, Δx2, Δx3 получены из Δ заменой столбцов коэффициентов при x1, x2, x3 соответственно на столбец свободных членов. При этом, если Δ ≠ 0, система имеет единственное решение x1= Δx₁/ Δ и т.д.; 2) Δ=Δx₁=Δx₂= Δx₃=0, система несовместна или имеет бесконечное множество решений; 3) Δ=0 и хотя бы один из Δx1, Δx2, Δx3 отличен от нуля, система несовместна.