Вопрос 10.
Момент силы. Момент импульса. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса.
Момент силы — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.
В
физике момент силы можно понимать как
«вращающая сила». В системе СИ единицами
измерения для момента силы является
Ньютон-метр. Момент силы иногда называют
моментом пары сил, это понятие возникло
в трудах Архимеда над рычагами. В
простейшем случае, если сила приложена
к рычагу перпендикулярно ему, момент
силы определяется как произведение
величины этой силы на расстояние до оси
вращения рычага. Например, сила в 3
ньютона, приложенная к рычагу на
расстоянии 2 метров от его оси вращения,
создаёт такой же момент, что и сила в 1
ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии
6 метров до оси вращения. Более точно,
момент силы частицы определяется как
векторное произведение:
,
где
— сила, действующая на частицу, а
— радиус-вектор частицы.
Момент силы как функция от времени
Момент силы — производная по времени от момента импульса,
,
где L — момент импульса. Момент импульса
твердого тела может быть описан через
произведение момента инерции и угловой
скорости.
То есть, если I постоянная, то
,
где
—
угловое ускорение, измеряемое в радианах
в секунду за секунду.
Момент импульса – характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.
Пусть
материальная точка A,
движущаяся по окружности радиуса
,
обладает импульсом
(рис.
1). Моментом
импульса материальной точки A относительно
некоторой точки O называют
векторное произведение радиуса-вектора,
проведенного из точки O
в
данную точку A,
и вектора импульса
.
(1)
Вектор
перпендикулярен плоскости, в которой
лежат векторы
и
,
и численно равен площади параллелограмма,
сторонами которого являются эти векторы
.
(2)
При
движении точки по окружности ее скорость
перпендикулярна радиусу, поэтому
Направление
вектора
определяется,
как и
,
по правилу векторного произведения.
Отметим, что векторы
и
являются
аксиальными.
Моментом
импульса относительно некоторой оси
называется
проекция на эту ось момента импульса
относительно любой точки, которая лежит
на оси. Из рис. 2 видно, что эта величина
не зависит от выбора точки O'
на
оси. В самом деле
(3)
Выразив
линейную скорость точки через угловую
,
получаем
(4)
Целесообразность
введения момента импульса оправдана
тем, что он связан с моментом силы важными
соотношениями, которые можно получить
из закона динамики. Продифференцируем
выражение (2) по времени
.
(5)
Если
точка O
(ось
OZ)
неподвижна, то производная
и
первое слагаемое равно нулю как векторное
произведение коллинеарных векторов
.
Второе слагаемое можно преобразовать
с помощью закона динамики:
.
Тогда получим
или
.
(6)
Полученное соотношение называется уравнением моментов для материальной точки: скорость изменения момента импульса материальной точки относительно неподвижной точки равна моменту действующих сил относительно той же точки. Оно справедливо при любом движении материальной точки (в том числе переменной массы) по произвольной траектории. Уравнение моментов можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек.
Моментом
импульса системы материальных точек
относительно некоторой точки O
(или
оси OZ)
называют сумму моментов импульсов всех
материальных точек относительно той
же точки (оси)
.
(7)
Запишем
уравнения моментов (6) для всех точек
системы и сложим их. При этом на внутренние
силы внимания можно не обращать,
поскольку, как уже отмечалось, их
суммарный момент относительно любой
точки равен нулю. Мы снова придем к
уравнению моментов, но уже для системы
материальных точек
,
(8)
где
—
суммарный момент всех внешних сил,
действующих на систему.
Уравнение
(8) можно переписать в виде:
.
(9)
Произведение
момента силы и времени ее действия
называют импульсом
момента силы.
Тогда из выражения (9) следует, что
изменение
момента импульса системы за конечный
интервал времени равно импульсу
суммарного момента всех внешних сил,
действующих на систему относительно
той же точки, за то же время
.
(10)
Формулы (8) и (9) являются наиболее общими формами записи закона динамики вращательного движения, поскольку они справедливы для тел и механических систем как с постоянным, так и с переменным моментом инерции.
Закон сохранения момента импульса — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.
Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.
В
упрощённом виде:
,если система находится в равновесии.
