13.Обработка результатов прямых многократных измерений.

При измерениях с многократными наблюдениями обработка результатов проводится по-разному, в зависимости от числа серий наблюдений, а также от условий и числа наблюдений в каждой серии, значимости систематических погрешностей, законов распределения случайных погрешностей и ряда других факторов. В простейшем случае примем одну серию наблюдений с n = 24 и при условии, что невозможно оценить и исключить систематические погрешности.

1. Снять n = 24 независимых результатов наблюдений и занести в таблицу.

2. Определить математическое ожидание (среднее арифметическое):

.

3. Определить среднее квадратичное отклонение (СКО) или рассеивание единичных результатов по приближенной формуле Бесселя

D = s², где D – дисперсия.

Качество и точность измерений тем выше, чем меньше СКО, тем меньше вероятность рассеивания результатов наблюдений D.

4. Если x_i – m_x > ±3s, то необходимо убрать грубые отсчеты (промахи) и снова повторить п. 2, п. 3.

5. СКО среднего арифметического :

6. Проверить гипотезу, что результаты наблюдений принадлежат нормальному закону распределения вероятности:

где Dx_i = x_i – m_x.

7. Определить доверительные границы ε случайной погрешности при заданной доверительной вероятности P = 0,95. P = 0,95 принято в технических измерениях для единообразия оценки случайных погрешностей.

, где – коэффициент Стьюдента при n = 24, = 2,064.

8. Определить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерений при условии равномерного распределения НСП

где Q_i – граница НСП; k – коэффициент, определяемый принятой в технических расчетах доверительной вероятностью P = 0,95; m – количество НСП. Если m = 0, то ε = q.

9. Определить доверительные границы погрешности результата измерений D.

Если или , то НСП пренебрегаем и граница погрешности результата D_Г = ±e.

Если или , то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата D_Г =±q.

Если оба неравенства не выполняются, то вычисляют СКО среднего арифметического групп наблюдений:

При отсутствии НСП и для одной группы наблюдений S_å = s. Тогда границы погрешности результата измерений D_Г равны

,

где или .

10. Записать окончательный результат измерений в сокращенной форме:

X ± D_Г, P

или в более полной форме: m_x, , n, q, P.

14. Определение погрешности косвенных измерений

Косвенные измерения – искомую величину определяют вычислениями по результатам прямых измерений величин, связанных с искомой величиной известной зависимостью, например для определения объема цилиндрического резервуара необходимо измерить радиус дна и высоту и обратиться к формул , где V–объем цилиндра, r–радиус основания цилиндра, h– высота цилиндра.

При косвенных измерениях искомое значение величины находят на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

. (1)

Погрешность в оценке А зависит от погрешностей при измерениях аргументов a_i.

При нелинейных косвенных измерениях проводят приближенную оценку погрешности результата косвенного измерения на основе линеаризации функции (1).

Применив метод линеаризации, основанный на разложении (1) в ряд Тейлора с ограничением ряда членами, содержащими только первые производные, получим

, (2)

Где A_д – действительное значение косвенно измеряемой величины; Δa– погрешность результата измерения аргумента a; значение частной производной от функции от аргумента a в точке, где аргумент имеет действительное значение.

Для зависимых переменных, если результаты измерения аргументов зависимы друг от друга, абсолютная погрешность определяется согласно (3):

(3)

Для независимых переменных, если результаты измерения аргументов независимы друг от друга,

– абсолютная погрешность определяется согласно (4):

(4)

– относительная погрешность определяется согласно (5):

(5)

Если результаты прямых измерений определены со среднеквадратичными отклонениями S , то оценка среднеквадратичного отклонения результата косвенных измерений

Если погрешности a₁, a₂,...,a_nкоррелированны, то оценка среднего арифметического отклонения [1]

, (6)

гдеr_i,j– коэффициент корреляции ; – частные погрешности косвенного измерения.

Установление корреляционных связей между погрешностями часто затруднительно, поэтому если они есть, то , если нет, то .

Анализ формулы (3) позволяет получить простые правила оценивания погрешности результата косвенного измерения.