46. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.

Непрерывность обратной функции:

Пусть f  -- непрерывная монотонная функция, D(f)=[a,b], E(f)=[c;d]. Тогда обратная к f функция “фи” непрерывна на отрезке [c;d].

Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.

Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывная функция в этой точке.

47. Односторонние пределы функций и классификация точек разрыва.

48. Производная, её геометрический и механический смысл. Уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции в заданной точке. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Непрерывность функции, имеющей производную.

49. Производные элементарных функций (таблица производных): производная степенной и логарифмической функции.

1. Степенная y=xⁿ, nЄN

2. Логарифмическая функция y=log_ax, a>0 и a≠1

• y=lnx

при x→0

Т.е. или

• 

50. Производные элементарных функций (таблица производных): производные тригонометрических функций.

1. Для y=sinx

При Δx→0

2.Для y=cosx

3.Для y=tgx

4.Для y=ctgx

Производная обратной функции: производная показательной функции и обратных тригонометрических функций.

1.Показательная функция y=a^x, a>0 и a≠1.

Найдём производную функции y=e^x

Т.к.

2.Обратные тригонометрические функции: y=arcsinx; y=arccosx; y=arctgx; y=arcctgx

1) y=arcsinx, обратная x=siny

2)

3) y=arctgx, обратная x=tgy yЄ

4)

51. Производная сложной функции.

Пусть y=f(n) а u=γ(n) => y=f(γ(n))

Если функция u=γ(n) имеет производную u_x' в точке x, а функция y=f(n) имеет производную y_u' в соответствующей точке u=γ(n), то сложная функция y=f(γ(n)) имеет производную y_x' в точке x, которая находится по формуле y_x'= y_u'+u_x'

Подставим:

Для нахождения производной сложной функции необходимо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

52. Дифференцирование функций, заданных параметрически, неявно.

1) t-вспомогательная переменная

Функция имеет обратную t=γ(x), тогда По правилу дифференцирования , а т.к.

2)Не явно заданная функция имеет вид F(x,y)=0

Чтобы найти её производную необходимо продифференцировать её части равенства F(x,y)=0 по аргументу x, считая y-функцией от x, и после этого выразить y'.