42. I замечательный предел, следствия I замечательного предела.

Следствия: // // // // //

43. II замечательный предел, следствия II замечательного предела. Следствия: // // //

44. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых функций.

Функция называется бесконечно малой при , если для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

или

при , , , .

Свойства:

1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

3. Произведение бесконечно малой величины на константу или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно малая

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа существует число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

или

при

Коротко можно записать так:

Свойства:

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая

3. Произведение бесконечно большой величины на константу , или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и две бесконечно малые функции при и отлична от нуля в некоторой окрестности точки . Если

то называется бесконечно малой более высокого порядка, чем . В этом случае пишут и говорят есть − малое от

Если

то бесконечно малые и имеют одинаковый порядок малости. В этом случае пишут , есть – большое от .

Если

то называется бесконечно малой более низкого порядка, чем .

Если

то и называются эквивалентными бесконечно малыми, .

Если

то является бесконечно малой -го порядка относительно .

45. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточных значений.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

Еще одно определение. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в точке и её окрестности и выполняется равенство

т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Свойства функций, непрерывных на отрезке. (свойства представим в виде теорем)

Теорема 1 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между и .

Следствие 2. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой данная функция обращается в нуль: .