9. Произведение матриц. Свойства произведения матриц.

Умножение матрицы на матрицу возможно, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Матрицы и называются перестановочными, если . Свойства произведения матриц: ; ; ; .

10. Операция транспонирования, транспонирование суммы и произведения матриц. Обратная матрица.

Операция транспонирования – переход от матрицы к матрице , при которой строки исходной матрицы становятся столбцами транспонированной матрицы. // . Транспонирование: суммы матриц ; произведения матриц .

Матрица называется обратной матрице , если выполняется условие / Алгоритм вычисления обратной матрицы:

; ; ; .

11. Определитель квадратной матрицы. Определители второго, третьего и -го порядка. Минор, определение ранга матрицы в терминах миноров. Алгебраические дополнения элементов матрицы. Вычисление определителя разложением по столбцу (строке).

12. Линейность определителя по строке (столбцу). Свойства определителя. Вычисление определителя путём преобразования матрицы. Равенство нулю определителя как необходимое и достаточное условие вырожденности матрицы.

13. Формулы Крамера для решения квадратной СЛУ.

14. Присоединённая матрица и её связь с обратной матрицей. Способы нахождения обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

15. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛУ). Теорема Кронекера-Капелли о совместности СЛУ и следствия из неё.

16. Решение систем линейных уравнений: метод Гаусса, метод Жордана – Гаусса.

17. Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ). Фундаментальная система решений и запись общего решения ОСЛУ в форме линейной комбинации с неопределёнными коэффициентами.

18. Связь множества решений совместной неоднородной СЛУ и соответствующей ей ОСЛУ, запись общего решения неоднородной СЛУ.

19. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы. Характеристический многочлен квадратной матрицы и его корни.

20. Прямая на плоскости. Виды уравнения прямой: общее, в «отрезках», с угловым коэффициентом, векторное, нормальное, параметрическое. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

21. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.

22. Виды уравнения плоскости в пространстве: общее, в «отрезках», нормальное. Взаимное расположение плоскостей.

23. Прямая в пространстве . Каноническое уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

24. Кривые второго порядка: окружность, эллипс (вывод канонического уравнения, понятие эксцентриситета, свойства кривых второго порядка).

25. Кривые второго порядка: гипербола (вывод канонического уравнения, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, свойства центральных кривых второго порядка).

26. Кривые второго порядка: парабола (вывод канонического уравнения, свойства нецентральных кривых второго порядка).

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через . Пусть – произвольная точка параболы. Соединим точку с . Проведем отрезок перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы . По формуле расстояния между двумя точками находим: // // // // – каноническое уравнение параболы. – фокальный радиус точки .

Кривая второго порядка называется нецентральной, если она или не имеет центра симметрии, или же имеет бесконечно много центров симметрии.