1. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами (сложение, умножение на число). Определение векторного пространства .

Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора. Линейные операции над векторами: (имеются и . Cложение ; умножение на число . Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов .

2. Линейная комбинация векторов системы. Линейная зависимость и линейная независимости системы векторов. Базис и размерность векторного пространства (системы векторов). Однозначность разложения вектора по данному базису. Ранг системы векторов.

Линейной комбинацией векторов называется выражение вида . где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. . Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при всех . Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства. Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве. Каждый вектор из , не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису. Пусть – базис пространства и . Тогда найдутся такие числа , что . Коэффициенты разложения , называются координатами вектора в базисе . Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

3. Скалярное произведение в . Угол между векторами. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Понятие ортогональности векторов.

Если в линейном векторном пространстве можно ввести операцию скалярного произведения, то такое пространство называется евклидовым. . Свойства скалярного произведения: (коммутативность); ; (дистрибутивность); при при . Угол между векторами Длина вектора . .

Неравенство Коши-Буняковского . Пусть имеются два ненулевых вектора и . . . . .

Если векторы ортогональны (перпендикулярны), то их скалярное произведение равно нулю.

4. Выражение скалярного произведения двух векторов через их координаты в ортонормированном базисе.

Если в пространстве задан базис Б: , , , то вектора и можно представить в виде разложения по базису . ///

5. Определение векторного произведения. Запись векторного произведения в координатной форме.

Вектор называется векторным произведением векторов и , если: и ; ; векторы , и образуют правую тройку. Пусть имеется два ненулевых вектора и : // // // // ///

6. Геометрический смысл векторного произведения. Свойства векторного произведения.

Геометрический смысл векторного произведения заключается в нахождении площади параллелограмма и треугольника: // // . Свойства векторного произведения: (не коммутативно); ; ; ; ; (дистрибутивность).

7. Смешанное произведение. Свойства смешанного произведения. Запись смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.

– смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения: (циклическая перестановка векторов); ; – компланарны;

Запись смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов. Пусть заданы векторы , , /// ///

8. Матрицы (классификация матриц). Линейные операции с матрицами (сложение и умножение на число). Свойства линейных операций с матрицами.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из строк и столбцов, состоящая из чисел или других математических выражений – называемых элементами матрицы, где – номер строки, – номер столбца. ; Классификация матриц: Квадратной матрицей -го порядка называется матрица размера ; ; Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны 0; ; Единичной называется диагональная матрица с единицами по главной диагонали; ; Нулевой называется матрица, все элементы которой нули. .

Линейные операции с матрицами: Сумма (разность) матриц одинаковой размерности; Пусть и Умножение на число .

Свойства линейных операций с матрицами: ; ; ; ; ; ; ; .