5. Понятие о точечной оценке числ. Хар-ки св.Св-ва точечных оценок.

Оценки параметров разделяются на точечные и интервальные.

Точечной называют статистическую оценку, определяемую одним числом Ɵ_n*=f(x1,x2,…,xn)(далее будем обозначать просто Ɵ*),где x1,x2,…,xn - результаты n наблюдений (выборки) над количественным признаком К оценке Ɵ * естественно предъявить ряд требований(св-ва):

1. Желательно, чтобы, пользуясь величиной Ɵ * вместо Ɵ, не делалось систематических ошибок ни в сторону занижения, ни в сторону завышения, т.е. чтобы выполнялось равенство M (Ɵ * ) Ɵ (2.1). Оценка, удовлетворяющая условию (2.1), называется несмещённой. Несмещённой называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки. Требование несмещённости оценки особенно важно при малом числе испытаний.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру Ɵ .

2. Желательно, чтобы с увеличением числа n опытов значения случайной величины Ɵ * концентрировались около Ɵ всё более тесно, т.е.

 Ɵ *^ Ɵ при n или (2.2)

Оценку, обладающую свойством (2.2), называют состоятельной.

Если оценкаƟ* параметра Ɵ является несмещенной, а ее дисперсии

D(Ɵ * ) 0 при n(2.3), то оценка Ɵ * является и состоятельной. Это непосредственно вытекает из неравенства Чебышева.

3. . Если Ɵ₁* и Ɵ ₂* – различные несмещённые оценки параметра Ɵ , то оценка Ɵ₁* называется более эффективной, чем оценка Ɵ₂* , если

D _Ɵ1* D _Ɵ2*.

Поэтому разумно самой эффективной оценкой назвать оценку, на которой достигается min D. Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданномобъёме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию.

6. Точечные оценки матожидания и их свойства

Задана случайная величина Х: х₁, х₂, …, х_n, так как М(Х) не найти, то для математического ожидания случайной величины Х естественно предложить среднее арифметическое     её наблюденных значений.

1. По методу произведений 

, , так как .

Это и означает, что оценка  несмещенная.

2. Если исследуемая случайная величина Х имеет конечную дисперсию, то эта оценка будет состоятельной, так как

.

Если исследуемая величина имеет нормальный закон распределения, то можно показать, что предложенная оценка эффективна, т. е. оценки для математического ожидания с меньшей дисперсией не существует для нормально распределенных величин.

7. Точечные оценки дисперсии и их свойства

Так как дисперсия определяется через математическое ожидание, а для математического ожидания оценка уже выбрана, то для дисперсии естественно предложить оценку:

 или ;               (1.4)

  ,                 (1.5)

что соответствует записи дисперсии в виде .

Оказывается, что предложенная оценка дисперсии (1.4) состоятельна (легко доказать) и (1.5) не является несмещенной. Чтобы в этом убедиться, возведём в квадрат последнее слагаемое в (1.4)

Процентрируем величину Х, т. е. перенесем начало координат в точку М(Х): . Дисперсия зависит лишь от разности значений Х и математического ожидания, поэтому от переноса начала координат оценка не изменится и равенство можно продолжить:

.

Вычислим теперь математическое ожидание полученной величины

,

т. е. , так как .

Значит, предложенная оценка занижает истинное значение дисперсии.

Для получения несмещенной оценки введем поправку и полученную оценку обозначим через S²

или (1.6)

Оценка S² (1.6) является состоятельной, так как  сходится по вероятности к М(Х²), а  – к М(Х).

Замечание. При малых n дробь  довольно значительно отличается от единицы, а с увеличением n стремится к единице. При n > 50 практически нет разницы между оценками  и S². Оценки  и S² являются состоятельными оценками дисперсии.