18.Функция распределения и ее свойства.

Функция F(x) случайной величины X определяется формулой F(x)=p(X<x) Функцию F(x) называют функцией распределения вероятностей случайной величины X или просто функцией распределения величины X (иногда используют термин "интегральная функция распределения"). Рассмотрим свойства функции распределения. СВОЙСТВО 1 0≤F(x)≤1 Данное свойство следует непосредственно из определения. СВОЙСТВО 2 p(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1) СВОЙСТВО 3 F(x) - неубывающая функция. Это следует непосредственно из предыдущего свойства, если учесть, что вероятность есть величина неотрицательная. СВОЙСТВО 4 p(X≥x)=1-F(x). СВОЙСТВО 5 Если x→+∞, то F(x) →1. СВОЙСТВО 6 Если x→-∞, то F(x)→0. СВОЙСТВО 7 Функция распределения непрерывна слева, то есть limΔ→+0F(x-Δ)=F(x) СВОЙСТВО 8 Скачок функции распределения в произвольной точке x совпадает с вероятностью события X=x, то есть  F(x+0)-F(x-0)=p(X=x)

19.Непрерывные случайные величины.

Случайная величина   называется непрерывной, если ее функция распределения   непрерывна при всех значениях  . Для непрерывных величин справедливы следующие очевидные свойства. СВОЙСТВО 1 Если   - непрерывная случайная величина, то СВОЙСТВО 2 Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент, полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:

20.Функция плотности вероятностей.

Функция  , равная производной от функции распределения непрерывной случайной величины  , называется плотностью вероятности (иначе - "плотностью распределения") непрерывной случайной величины  . Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

21.Схема Бернулли.

Рассмотрим задачу об определении вероятности   того, что при   испытаниях в схеме Бернулли событие   наступит   раз, а остальные   раз наступит противоположное событие  .  По теореме сложения вероятностей искомая вероятность   равна сумме вероятностей   для всех различных способов   появлений и   не появлений события   среди   испытаний. Число таких способов находится по формуле Получаем, что 

22.Предельные теоремы Лапласа.

Локальная. Пусть   - фиксированное число, отличное от 0 и 1. Если в выражении для  устремить   к бесконечности и при этом изменять   так, чтобы величина   оставалась ограниченной: то будем иметь Таким образом, при больших значениях   имеет место приближенное равенство где

Интегральная. Вероятность события определяемого при имеет своим пределом выражение

23.Предельная теорема Пуассона.

Если   фиксировано,  , а  , притом так, что величина остается ограниченной, то справедливо соотношение

24.Дискретные классические распределения.

Биномиальное распределение. Пусть случайная величина х выражает число появлений события А при n независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А равна q=1-q. Возможными значениями случайной величины х являются Вероятности этих возможных значений определяются по формуле Бернулли.

Распределение случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой Бернулли, носит название биномиального распределения.

Распределение Пуассона. Распределение дискретной случайной величины, для которой ряд распределения задается формулой , носит название распределение Пуассона.